O teorema de Pitágoras indica que, em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.
Aproveite os exercícios resolvidos e comentados para tirar todas as suas dúvidas sobre esse importante conteúdo.
Questão 1
Carlos e Ana saíram de casa para trabalhar partindo do mesmo ponto, a garagem do prédio onde moram. Após 1 min, percorrendo um trajeto perpendicular, eles estavam a 13 m de distância um do outro.
Exercício sobre o teorema de pitágoras
Se o carro de Carlos fez 7 m a mais que o de Ana durante esse tempo, a que distância eles estavam da garagem?
a) Carlos estava a 10 m da garagem e Ana estava a 5 m.
b) Carlos estava a 14 m da garagem e Ana estava a 7 m.
c) Carlos estava a 12 m da garagem e Ana estava a 5 m.
d) Carlos estava a 13 m da garagem e Ana estava a 6 m.
Resposta correta: c) Carlos estava a 12 m da garagem e Ana estava a 5 m.
Os lados do triângulo retângulo formado nessa questão são:
hipotenusa: 13 m
cateto maior: 7 + x
cateto menor: x
Aplicando os valores no teorema de Pitágoras, temos:
reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado espaço 13 ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo 7 espaço mais espaço reto x parêntese direito ao quadrado espaço mais espaço reto x ao quadrado espaço 169 espaço igual a espaço 49 espaço mais espaço 14 reto x espaço mais espaço reto x ao quadrado espaço mais espaço reto x ao quadrado 169 espaço igual a espaço 49 espaço mais espaço 14 reto x espaço mais espaço 2 reto x ao quadrado 169 espaço menos espaço 49 espaço igual a espaço 14 reto x espaço mais espaço 2 reto x ao quadrado 120 espaço igual a espaço 14 reto x espaço mais espaço 2 reto x ao quadrado 2 reto x ao quadrado espaço mais espaço 14 reto x espaço menos espaço 120 espaço igual a espaço 0 espaço parêntese esquerdo dividido por 2 parêntese direito espaço seta dupla para a direita espaço reto x ao quadrado espaço mais espaço 7 reto x espaço menos espaço 60 espaço igual a espaço 0
Agora, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor de x.
reto x igual a numerador menos reto b espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de reto b ao quadrado espaço menos espaço 4 ac fim da raiz sobre denominador 2 reto a fim da fração reto x igual a numerador menos 7 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 7 ao quadrado espaço menos espaço 4.1. parêntese esquerdo menos 60 parêntese direito fim da raiz sobre denominador 2.1 fim da fração reto x igual a numerador menos 7 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 49 espaço mais espaço 240 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto x igual a numerador menos 7 espaço mais ou menos espaço raiz quadrada de 289 sobre denominador 2 fim da fração reto x igual a numerador menos 7 espaço mais ou menos espaço 17 sobre denominador 2 fim da fração reto x apóstrofo espaço igual a espaço numerador menos 7 espaço mais espaço 17 sobre denominador 2 fim da fração igual a 10 sobre 2 igual a 5 reto x apóstrofo apóstrofo espaço igual a espaço numerador menos 7 espaço menos espaço 17 sobre denominador 2 fim da fração igual a numerador menos espaço 24 sobre denominador 2 fim da fração igual a menos espaço 12
Por se tratar de uma medida de comprimento, devemos utilizar o valor positivo. Portanto, os lados do triângulo retângulo formado nessa questão são:
hipotenusa: 13 m
cateto maior: 7 + 5 = 12 m
cateto menor: x = 5 m
Sendo assim, Ana estava a 5 metros da garagem e Carlos estava a 12 metros.
Questão 2
Carla ao procurar seu gatinho o avistou em cima de uma árvore. Ela então pediu ajuda a sua mãe e colocaram uma escada junto à árvore para ajudar o gato a descer.
Exercício sobre o teorema de pitágoras
Sabendo que o gato estava a 8 metros do chão e a base da escada estava posicionada a 6 metros da árvore, qual o comprimento da escada utilizada para salvar o gatinho?
a) 8 metros.
b) 10 metros.
c) 12 metros.
d) 14 metros.
Resposta correta: b) 10 metros.
Observe que a altura em que o gato está e a distância que a base da escada foi posicionada formam um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90 graus. Como a escada está posicionada do lado oposto ao ângulo reto, então seu comprimento corresponde à hipotenusa do triângulo retângulo.
Aplicando os valores dados no teorema de Pitágoras descobrimos o valor da hipotenusa.
reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado espaço reto a ao quadrado espaço igual a espaço 8 ao quadrado espaço mais espaço 6 ao quadrado espaço reto a ao quadrado espaço igual a espaço 64 espaço mais espaço 36 reto a ao quadrado igual a espaço 100 reto a ao quadrado espaço igual a espaço raiz quadrada de 100 reto a espaço espaço espaço igual a espaço 10
Portanto, a escada tem comprimento de 10 metros.
Questão 3
De acordo com as medidas apresentadas nas alternativas a seguir, qual apresenta os valores de um triângulo retângulo?
a) 14 cm, 18 cm e 24 cm
b) 21 cm, 28 cm e 32 cm
c) 13 cm, 14 cm e 17 cm
d) 12 cm, 16 cm e 20 cm
Resposta correta: d) 12 cm, 16 cm e 20 cm.
Para saber se as medidas apresentadas formam um triângulo retângulo devemos aplicar o teorema de Pitágoras para cada alternativa.
a) 14 cm, 18 cm e 24 cm
reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado espaço 24 ao quadrado espaço igual a espaço 18 ao quadrado espaço mais espaço 14 ao quadrado espaço 576 espaço igual a espaço 324 espaço mais espaço 196 576 espaço não igual espaço 520
b) 21 cm, 28 cm e 32 cm
reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado espaço 32 ao quadrado espaço igual a espaço 28 ao quadrado espaço mais espaço 21 ao quadrado espaço 1024 espaço igual a 784 espaço mais espaço 441 1024 espaço não igual espaço 1225
c) 13 cm, 14 cm e 17 cm
reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado espaço 17 ao quadrado espaço igual a espaço 14 ao quadrado espaço mais espaço 13 ao quadrado espaço 289 espaço igual a espaço 196 mais espaço 169 289 espaço não igual espaço 365
d) 12 cm, 16 cm e 20 cm
reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado espaço 20 ao quadrado espaço igual a espaço 16 ao quadrado espaço mais espaço 12 ao quadrado espaço 400 espaço igual a espaço 256 espaço mais espaço 144 400 espaço igual a espaço 400
Portanto, as medidas 12 cm, 16 cm e 20 cm correspondem aos lados de um triângulo retângulo, pois o quadrado da hipotenusa, maior lado, é igual a soma do quadrado dos catetos.
Questão 4
Observe as figuras geométricas a seguir, que estão com um dos lados situados na hipotenusa de um triângulo retângulo com medidas 3 m, 4 m e 5 m.
Exercício sobre o teorema de Pitágoras
Determine a altura (h) do triângulo equilátero BCD e o valor da diagonal (d) do quadrado BCFG.
a) h = 4,33 m e d = 7,07 m
b) h = 4,72 m e d = 8,20 m
c) h = 4,45 m e d = 7,61 m
d) h = 4,99 m e d = 8,53 m
Resposta correta: a) h = 4,33 m e d = 7,07 m.
Como o triângulo é equilátero, quer dizer que os seus três lados possuem a mesma medida. Ao traçar uma linha que corresponde a altura do triângulo, nós o dividimos em dois triângulos retângulos.
O mesmo acontece com o quadrado. Quando traçamos a linha da sua diagonal, podemos visualizar dois triângulos retângulos.
Exercício sobre o teorema de Pitágoras
Aplicando os dados do enunciado no teorema de Pitágoras, descobrimos os valores da seguinte forma:
1. Cálculo da altura do triângulo (cateto do triângulo retângulo):
reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado reto L ao quadrado espaço igual a espaço reto h ao quadrado espaço mais espaço abre parênteses reto L sobre 2 fecha parênteses ao quadrado reto L ao quadrado espaço igual a espaço reto h ao quadrado espaço mais reto L ao quadrado sobre 4 4 reto L ao quadrado espaço igual a espaço 4 reto h ao quadrado espaço mais espaço reto L ao quadrado 4 reto L ao quadrado espaço menos espaço reto L ao quadrado igual a espaço 4 reto h ao quadrado 3 reto L ao quadrado espaço igual a espaço 4 reto h ao quadrado reto h ao quadrado espaço igual a espaço numerador 3 reto L ao quadrado espaço sobre denominador 4 fim da fração reto h espaço igual a espaço raiz quadrada de numerador 3 reto L ao quadrado espaço sobre denominador 4 fim da fração fim da raiz reto h espaço igual a espaço numerador reto L. raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração
Chegamos então na fórmula para calcular a altura. Agora, basta substituir o valor de L e calculá-la.
reto h espaço igual a espaço numerador 5. raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração reto h espaço aproximadamente igual espaço 4 vírgula 33
2. Cálculo da diagonal do quadrado (hipotenusa do triângulo retângulo):
reto a ao quadrado espaço igual a espaço reto b ao quadrado espaço mais espaço reto c ao quadrado reto d ao quadrado espaço igual a espaço reto L ao quadrado espaço mais espaço reto L ao quadrado reto d ao quadrado espaço igual a espaço 2 reto L ao quadrado reto d espaço igual a espaço raiz quadrada de 2 reto L ao quadrado fim da raiz reto d espaço igual a espaço reto L raiz quadrada de 2 reto d espaço igual a espaço 5 raiz quadrada de 2 reto d espaço aproximadamente igual espaço espaço 7 vírgula 07
Portanto, a altura do triângulo equilátero BCD é 4,33 e o valor da diagonal do quadrado BCFG é 7,07.
Veja também: Teorema de Pitágoras
Questão 5
(Cefet/MG - 2016) Uma pipa, cuja figura é mostrada a seguir, foi construída no formato do quadrilátero ABCD, sendo pilha A B com barra acima idêntico B C em moldura superior fecha moldura e A D em moldura superior fecha moldura idêntico C D em moldura superior fecha moldura. A vareta B D em moldura superior fecha moldura da pipa intercepta a vareta A C em moldura superior fecha moldura em seu ponto médio E, formando um ângulo reto. Na construção dessa pipa, as medidas de B C em moldura superior fecha moldura espaço e espaço B E em moldura superior fecha moldura usadas são, respectivamente, 25 cm e 20 cm, e a medida de A C em moldura superior fecha moldura equivale a2 sobre 5da medida de B D em moldura superior fecha moldura.
Questão Cefet-MG 2016 Pitágoras
Nessas condições, a medida de D E em moldura superior fecha moldura, em cm, é igual a
a) 25.
b) 40.
c) 55.
d) 70.
Alternativa correta: c) 55.
Observando a figura da questão, percebemos que o segmento DE, o qual queremos encontrar, é igual ao segmento BD subtraindo-se o segmento BE.
Desta forma, como sabemos que o segmento BE é igual a 20 cm, então precisamos encontrar o valor do segmento BD.
Note que o problema nos oferece a seguinte informação:
pilha A C com barra acima igual a 2 sobre 5. pilha B D com barra acima
Então, para encontrar a medida de BD, precisamos conhecer o valor do segmento AC.
Como o ponto E divide o segmento em duas partes iguais (ponto médio), então pilha A C com barra acima igual a 2. pilha C E com barra acima. Portanto, o primeiro passo é encontrar a medida do segmento CE.
Para encontrar a medida de CE, identificamos que o triângulo BCE é retângulo, que BC é a hipotenusa e BE e CE são os catetos, conforme imagem abaixo:
Questão Cefet mg 2016 Teorema de Pitágoras
Iremos então, aplicar o teorema de Pitágoras para encontrar a medida do cateto.
252 = 202+x2
625 = 400 + x2
x2 = 625 - 400
x2 = 225
x = √225
x = 15 cm
Para encontrar o cateto, poderíamos ainda ter observado que o triângulo é pitagórico, ou seja, a medida dos seus lados são números múltiplos das medidas do triângulo 3, 4, 5.
Assim, ao multiplicarmos 4 por 5 temos o valor do cateto (20) e se multiplicarmos 5 por 5 temos a hipotenusa (25). Logo, o outro cateto só poderia ser 15 (5 . 3).
Agora que já encontramos o valor de CE, podemos encontrar as demais medidas:
AC = 2. CE ⇒ AC = 2.15 = 30 cm
C E igual a 2 sobre 5 B D seta dupla para a direita 30 igual a 2 sobre 5. B D seta dupla para a direita B D igual a 150 sobre 2 igual a 75 espaço c m D E igual a B D menos B E seta dupla para a direita D E igual a 75 menos 20 seta dupla para a direita D E igual a 55 espaço c m
Portanto, a medida de DE em moldura superior é igual a 55 cm.
Veja também: Pitágoras
Questão 6
Uma casa de dois pavimentos está sendo construída, sendo necessária uma escada que ligue os dois andares. A fim de projetar corretamente a escada, é preciso conhecer seu comprimento.
Os únicos dados disponíveis são a altura, de três metros, e o comprimento horizontal, do primeiro ao último degrau. Determine o comprimento da escada.
Triângulo retângulo.
Resposta: 5,83 m
A altura e o comprimento horizontal formam com a escada um triângulo retângulo. O comprimento da escada é obtido pelo Teorema de Pitágoras.
Os catetos possuem 3 e 5 metros.
reto h ao quadrado igual a reto c ao quadrado mais reto c ao quadrado reto h ao quadrado igual a 3 ao quadrado mais 5 ao quadrado reto h ao quadrado igual a 9 espaço mais espaço 25 reto h ao quadrado igual a 34 reto h igual a raiz quadrada de 34
A raiz quadrada aproximada de 34 é 5,83 metros.
Questão 7
(IFRS - 2017) Considere um triângulo equilátero de lado 5√3 ܿ݉. Qual é a altura e a área deste triângulo, respectivamente?
a parêntese direito espaço 15 vírgula 2 espaço c m espaço e espaço 75 sobre 4 c m ao quadrado b parêntese direito espaço numerador 6 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração espaço c m espaço e espaço numerador 75 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração espaço c m ao quadrado c parêntese direito espaço 3 raiz quadrada de 5 espaço c m espaço e espaço 18 vírgula 75 raiz quadrada de 3 espaço c m ao quadrado d parêntese direito espaço 15 sobre 2 espaço c m espaço e espaço 37 vírgula 5 raiz quadrada de 3 c m ao quadrado e parêntese direito espaço 7 vírgula 5 espaço c m espaço e espaço numerador 75 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração c m ao quadrado
Alternativa correta: e) 7,5 cm e 75√3/4 cm2
Primeiro, vamos desenhar o triângulo equilátero e traçar a altura, conforme imagem abaixo:
Questão IFRS 2017 Teorema de Pitágoras
Note que a altura divide a base em dois segmentos de mesma medida, pois o triângulo é equilátero. Observe ainda que o triângulo ACD da figura é um triângulo retângulo.
Desta forma, para encontrar a medida da altura, usaremos o teorema de Pitágoras:
parêntese esquerdo 5 raiz quadrada de 3 parêntese direito ao quadrado igual a h ao quadrado mais parêntese esquerdo numerador 5 raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração parêntese direito ao quadrado h ao quadrado igual a 25.3 menos parêntese esquerdo numerador 25.3 sobre denominador 4 fim da fração parêntese direito h ao quadrado igual a 75 menos parêntese esquerdo 75 sobre 4 parêntese direito h ao quadrado igual a numerador 300 menos 75 sobre denominador 4 fim da fração h ao quadrado igual a 225 sobre 4 h igual a raiz quadrada de 225 sobre 4 fim da raiz h igual a 15 sobre 2 igual a 7 vírgula 5 espaço c m
Conhecendo a medida da altura, podemos encontrar a área através da fórmula:
A com incremento subscrito igual a 1 meio. b. h A com incremento subscrito igual a 1 meio.15 sobre 2.5 raiz quadrada de 3 A com incremento subscrito igual a numerador 75 raiz quadrada de 3 sobre denominador 4 fim da fração espaço c m ao quadrado
Veja também: Área do Triângulo
Questão 8
(IFRS - 2016) Na figura abaixo, o valor de x e y, respectivamente, é
Questão Ifrs 2016 Teorema de Pitágoras
a parêntese direito espaço 4 raiz quadrada de 2 espaço e espaço raiz quadrada de 97 b parêntese direito espaço 2 raiz quadrada de 2 espaço e espaço 97 c parêntese direito espaço 2 raiz quadrada de 2 espaço e espaço 2 raiz quadrada de 27 d parêntese direito espaço 4 raiz quadrada de 2 espaço e espaço 2 raiz quadrada de 27 e parêntese direito espaço 4 raiz quadrada de 2 espaço e espaço 97
Alternativa correta: a) 4√2 e √97.
Para encontrar o valor do x, vamos aplicar o teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo que possui catetos iguais a 4 cm.
x2 = 42 + 42
x2 = 16 + 16
x = √32
x = 4√2 cm
Para encontrar o valor de y, também usaremos o teorema de Pitágoras, agora considerando que um cateto mede 4 cm e o outro 9 cm (4 + 5 = 9).
y2 = 42 + 92
y2 = 16 + 81
y = √97 cm
Portanto, o valor de x e y, respectivamente, é 4√2 e √97.
Questão 9
(Aprendiz de Marinheiro - 2017) Observe a figura a seguir.
Questão Aprendiz de Marinheiro 2017 Teorema de Pitágoras
Na figura acima, tem-se um triângulo isósceles ACD, no qual o segmento AB mede 3 cm, o lado desigual AD mede 10√2 cm e os segmentos AC e CD são perpendiculares. Sendo assim, é correto afirmar que o segmento BD mede:
a) √53 cm
b) √97 cm
c) √111 cm
d) √149 cm
e) √161 cm
Alternativa correta: d) √149 cm
Considerando as informações apresentadas no problema, construímos a figura abaixo:
Questão Aprendiz de Marinheiro 2017 Teorema de Pitágoras
De acordo com a figura, identificamos que para encontrar o valor de x, será necessário encontrar a medida do lado que chamamos de a.
Como o triângulo ACD é retângulo, aplicaremos o teorema de Pitágoras para encontrar o valor do cateto a.
parêntese esquerdo 10 raiz quadrada de 2 parêntese direito ao quadrado igual a a ao quadrado mais a ao quadrado 100.2 igual a 2. a ao quadrado a ao quadrado igual a numerador 100. riscado diagonal para cima sobre 2 espaço fim do riscado sobre denominador riscado diagonal para cima sobre 2 espaço fim do riscado fim da fração a igual a raiz quadrada de 100 a igual a 10 espaço c m
Agora que já conhecemos o valor do a, podemos encontrar o valor do x, considerando para isso o triângulo retângulo BCD.
Note que o cateto BC é igual a medida do cateto menos 3 cm, ou seja, 10 - 3 = 7 cm. Aplicando o teorema de Pitágoras para esse triângulo, temos:
x ao quadrado igual a 10 ao quadrado mais 7 ao quadrado x ao quadrado igual a 100 mais 49 x igual a raiz quadrada de 149 c m
Portanto, é correto afirmar que o segmento BD mede √149 cm.
Questão 10
(IFRJ - 2013) O pátio de esportes do Campus Arrozal de um Instituto Federal é retangular, com 100 m de comprimento e 50 m de largura, representado pelo retângulo ABCD desta figura.
Questão IFRJ 2013 Teorema de Pitágoras
Alberto e Bruno são dois alunos, que estão praticando esportes no pátio. Alberto caminha do ponto A ao ponto C pela diagonal do retângulo e volta ao ponto de partida pelo mesmo caminho. Bruno parte do ponto B, dá uma volta completa no pátio, andando pelas linhas laterais, e volta ao ponto de partida. Assim, considerando √5 = 2,24 , afirma-se que Bruno andou mais que Alberto
a) 38 m.
b) 64 m.
c) 76 m.
d) 82 m.
Alternativa correta: c) 76 m.
A diagonal do retângulo o divide em dois triângulos retângulos, sendo a hipotenusa igual a diagonal e os catetos iguais aos lados do retângulo.
Desta forma, para calcular a medida da diagonal, vamos aplicar o teorema de Pitágoras:
d ao quadrado igual a 100 ao quadrado mais 50 ao quadrado d ao quadrado igual a 10 espaço 000 mais 2 espaço 500 d ao quadrado igual a 12 espaço 500 d igual a raiz quadrada de 2 ao quadrado.5 à potência de 4.5 fim da raiz d igual a 2.5 ao quadrado raiz quadrada de 5 d igual a 50 raiz quadrada de 5 S u b s t i t u i n d o espaço raiz quadrada de 5 igual a 2 vírgula 24 vírgula espaço t e m o s dois pontos d igual a 50.2 vírgula 24 igual a 112 m
Considerando que Alberto foi e voltou, então ele percorreu 224 m.
Já Bruno percorreu uma distância igual ao perímetro do retângulo, ou seja:
p = 100 + 50 + 100 + 50
p = 300 m
Portanto, Bruno andou 76 m a mais que Alberto (300 - 112 = 76 m).
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