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segunda-feira, 7 de abril de 2025
MATEMÁTICA E A ANÁLISE COMBINATÓRIA
A análise combinatória apresenta métodos que nos permitem contar de forma indireta o número de agrupamentos que podemos fazer com os elementos de um ou mais conjuntos, levando em conta determinadas condições.
Em muitos exercícios desse assunto, podemos utilizar tanto o princípio fundamental da contagem, como também as fórmulas de arranjo, permutação e combinação.
Questão 1
Quantas senhas com 4 algarismos diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,e 9?
a) 1 498 senhas b) 2 378 senhas c) 3 024 senhas d) 4 256 senhas
Resposta correta: c) 3 024 senhas.
Esse exercício pode ser feito tanto com a fórmula, quanto usando a princípio fundamental da contagem.
1ª maneira: usando o princípio fundamental da contagem.
Como o exercício indica que não ocorrerá repetição nos algarismos que irão compor a senha, então teremos a seguinte situação:
9 opções para o algarismo das unidades;
8 opções para o algarismo das dezenas, visto que já utilizamos 1 algarismo na unidade e não pode repetir;
7 opções para o algarismo das centenas, pois já utilizamos 1 algarismo na unidade e outro na dezena;
6 opções para o algarismo do milhar, pois temos que tirar os que já usamos anteriormente.
Assim, o número de senhas será dado por:
9.8.7.6 = 3 024 senhas
2ª maneira: usando a fórmula
Para identificar qual fórmula usar, devemos perceber que a ordem dos algarismos é importante. Por exemplo 1234 é diferente de 4321, assim iremos usar a fórmula de arranjo.
Então, temos 9 elementos para serem agrupados de 4 a 4. Desta maneira, o cálculo será:
Questão 2
Um técnico de um time de voleibol possui a sua disposição 15 jogadores que podem jogar em qualquer posição. De quantas maneiras ele poderá escalar seu time de 6 jogadores?
a) 4 450 maneiras b) 5 210 maneiras c) 4 500 maneiras d) 5 005 maneiras
Resposta correta: d) 5 005 maneiras.
Nesta situação, devemos perceber que a ordem dos jogadores não faz diferença. Assim, usaremos a fórmula de combinação.
Como uma equipe de voleibol compete com 6 jogadores, iremos combinar 6 elementos tirados de um conjunto de 15 elementos.
Questão 3
De quantas maneiras diferentes, uma pessoa pode se vestir tendo 6 camisas e 4 calças?
a) 10 maneiras b) 24 maneiras c) 32 maneiras d) 40 maneiras
Resposta correta: b) 24 maneiras diferentes.
Para solucionar esta questão, devemos utilizar o princípio fundamental da contagem e multiplicar o número de opções entre as escolhas apresentadas. Temos:
6.4 = 24 maneiras diferentes.
Portanto, com 6 camisas e 4 calças uma pessoa pode se vestir de 24 maneiras diferentes.
De quantas maneiras diferentes 6 amigos podem sentar em um banco para tirar uma foto?
a) 610 maneiras b) 800 maneiras c) 720 maneiras d) 580 maneiras
Resposta correta: c) 720 maneiras.
Podemos usar a fórmula de permutação, pois todos os elementos farão parte da foto. Note que a ordem que faz diferença.
Como o número de elementos é igual ao número de ajuntamentos, então existem 720 maneiras de 6 amigos sentarem para tirar uma foto.
Questão 5
Em uma competição de xadrez existem 8 jogadores. De quantas formas diferentes poderá ser formado o pódio (primeiro, segundo e terceiro lugares)?
a) 336 formas b) 222 formas c) 320 formas d) 380 formas
Resposta correta: a) 336 formas diferentes.
Como a ordem faz diferença, usaremos arranjo. Assim:
Substituindo os dados do enunciado na fórmula, temos:
Portanto, é possível formar o pódio de 336 formas diferentes.
Questão 6
Uma lanchonete tem uma promoção de combo com preço reduzido em que o cliente pode escolher 4 tipos diferentes de sanduíches, 3 tipos de bebida e 2 tipos de sobremesa. Quantos combos diferentes os clientes podem montar?
a) 30 combos b) 22 combos c) 34 combos d) 24 combos
Resposta correta: d) 24 combos diferentes.
Usando o princípio fundamental da contagem, multiplicamos o número de opções entre as escolhas apresentadas. Assim:
4.3.2 = 24 combos diferentes
Portanto, os clientes podem montar 24 combos diferentes.
Questão 7
Quantas comissões de 4 elementos podemos formar com 20 alunos de uma turma?
a) 4 845 comissões b) 2 345 comissões c) 3 485 comissões d) 4 325 comissões
Resposta correta: a) 4 845 comissões.
Note que como para uma comissão a ordem não faz diferença, usaremos a fórmula de combinação para calcular:
Questão 8
Determine o número de anagramas:
a) Existentes na palavra FUNÇÃO.
Resposta correta: 720 anagramas.
Cada anagrama consiste na reorganização das letras que compõem uma palavra. No caso da palavra FUNÇÃO temos 6 letras que podem ter suas posições modificadas.
Para encontrar o número de anagramas basta calcular:
b) Existentes na palavra FUNÇÃO que iniciam com F e terminam com O.
Resposta correta: 24 anagramas.
F — — — — O
Deixando fixas as letras F e O na palavra função, estando no início e final, respectivamente, podemos permutar as 4 letras não fixas e, portanto, calcular P4:
Sendo assim, existem 24 anagramas da palavra FUNÇÃO iniciados com F e terminados em O.
c) Existentes na palavra FUNÇÃO desde que as vogais A e O apareçam juntas nessa ordem (ÃO).
Resposta correta: 120 anagramas.
Se as letras A e O devem aparecer juntas como ÃO, então podemos interpretá-las como se fosse uma só letra:
FUNÇ ÃO; assim, temos que calcular P5:
Desta forma, existem 120 possibilidade de escrever a palavra com ÃO.
Questão 9
A família de Carlos é formada por 5 pessoas: ele, sua esposa Ana e mais 3 filhos, que são Carla, Vanessa e Tiago. Eles desejam tirar uma foto da família para enviar como presente ao avô materno das crianças.
Determine o número de possibilidades de os membros da família poderem se organizar para tirar a foto e de quantas formas possíveis Carlos e Ana podem ficar lado a lado.
Resposta correta: 120 possibilidades de foto e 48 possibilidades de Carlos e Ana estarem lado a lado.
Primeira parte: número de possibilidades dos membros da família se organizarem para tirar a foto
Cada forma de dispor as 5 pessoas lado a lado corresponde a uma permutação dessas 5 pessoas, uma vez que a sequência é formada por todos os membros da família.
O número de posições possíveis é:
Portanto, há 120 possibilidades de foto com os 5 membros da família.
Segunda parte: formas possíveis de Carlos e Ana ficarem lado a lado
Para que Carlos e Ana apareçam juntos (lado a lado), podemos considerá-los como uma única pessoa que irá permutar com as outras três, num total de 24 possibilidades.
Porém, para cada uma dessas 24 possibilidades, Carlos e Ana podem trocar de lugar entre si, de 2 maneiras distintas.
Assim, o cálculo para encontrar o resultado é: .
Sendo assim, existem 48 possibilidades de Carlos e Ana tirarem a foto lado a lado.
Questão 10
Uma equipe de trabalho é formada por 6 mulheres e 5 homens. Eles pretendem se organizar em grupo de 6 pessoas, com 4 mulheres e 2 homens, para compor uma comissão. Quantas comissões podem ser formadas?
a) 100 comissões b) 250 comissões c) 200 comissões d) 150 comissões
Resposta correta: d) 150 comissões.
Para formar a comissão deve-se escolher 4 das 6 mulheres () e 2 dos 5 homens (). Pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos estes números:
Assim, podem ser formadas 150 comissões com 6 pessoas e com, exatamente, 4 mulheres e 2 homens.
.
) e 2 dos 5 homens (
). Pelo princípio fundamental da contagem multiplicamos estes números:
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