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sexta-feira, 4 de abril de 2025
MATEMÁTICA PARA O ENEM E CONCURSOS. VEJAM VÍDEOS DO CANAL.
Questão 7
Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a probabilidade de:
a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4. b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5. c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5. d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.
Respostas corretas: a) 1/36, b) 11/36, c) 1/9 e d) 1/12.
Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:
Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.
Tabela 1:
1.º lançamento->
2.º lançamento
1
2
3
4
5
6
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
4
(4,1)
(4,2)
(4,4)
(4,4)
(4,5)
(4,6)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
(5,6)
6
(6,1)
(6,2)
(6,3)
(6,4)
(6,5)
(6,6)
a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.
b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.
c) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.
Tabela 2:
1.º lançamento->
2.º lançamento
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:
d) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:
Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?
Resposta correta: 7,8%.
Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente. No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:
onde:
n: número de vezes que ocorrerá a experiência k: número de vezes de acontecer um evento p: probabilidade do evento acontecer q: probabilidade do evento não acontecer
Vamos agora substituir os valores para a situação indicada. Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:
n = 7 k = 3 (em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)
Substituindo os dados na fórmula:
Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%.
Questão 9
Um casal planeja ter cinco filhos e deseja saber a probabilidade de serem 3 meninos e 2 meninas. Calcule esta probabilidade.
Resposta: 31,25%
A probabilidade do evento A nascer menina é: P(A) = 1/2 A probabilidade do evento B nascer menino é: P(B) = 1/2
A ocorrência destes eventos é independente e uma das possibilidades seria:
A . A . B . B . B
Desta forma, em probabilidades
Ainda, é preciso verificar que os eventos podem ocorrer em diversas ordens. Para resolver calculamos uma permutação de 5 elementos, com 2 repetições de A e 3 repetições de B.
Repare que este é o mesmo resultado de realizarmos uma combinação:
A probabilidade final será calculada como:
Questão 10
Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos telejornais de uma cidade revelou que 200 entrevistados assistem apenas ao telejornal A, 250 apenas ao telejornal B, e 50 assistem a ambos (A e B). Qual é a probabilidade de selecionar, ao acaso, uma pessoa que assiste ao telejornal A ou ao telejornal B?
Resposta: 50%
Das 800 pessoas, temos:
Seja o evento A, sortear uma pessoa que assiste ao apenas telejornal A,
O evento B, sortear uma pessoa que apenas assiste ao B,
A interseção são as pessoas que assistem aos dois telejornais, 50 pessoas.
Desta forma, temos que
A probabilidade de sortear alguém que assista a A ou B é de 62,5%.
(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
1º passo: determinar o número total de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo.
2º passo: interpretar o resultado.
Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis.
Questão 12
(Enem/2012) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Cor
Urna 1
Urna 2
Amarela
4
0
Azul
3
1
Branca
2
2
Verde
1
3
Vermelha
0
4
Uma jogada consiste em:
1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
a) Azul b) Amarela c) Branca d) Verde e) Vermelha
Alternativa correta: e) Vermelha.
Analisando os dados da questão, temos:
Como a urna 2 não tinha nenhuma bola amarela, se ele pegar uma amarela da urna 1 e colocar na urna 2, o máximo que terá de bolas amarelas é 1.
Como tinha apenas uma bola azul na urna 2, se ele pegar mais uma bola azul, o máximo que terá de bolas azuis na urna é 2.
Como tinha duas bolas brancas na urna 2, se ele adicionar mais uma dessa cor, o máximo de bolas brancas na urna será 3.
Como já tinha 3 bolas verdes na urna 2, se ele pegar mais uma dessa cor, o máximo de bolas vermelhas na urna será 4.
Já há quatro bolas vermelhas na urna 2 e nenhuma na urna 1. Logo, esse é o maior número de bolas dessa cor.
Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor que está em maior quantidade.
Questão 13
(Enem/2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a) 1/2 b) 5/8 c) 1/4 d) 5/6 e) 5/14
Alternativa correta: a) 1/2.
1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.
2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.
3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.
Questão 14
(Enem/2013) Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
Quantidade de números
escolhidos em uma cartela
Preço da Cartela
6
2,00
7
12,00
8
40,00
9
125,00
10
250,00
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
a) Caio e Eduardo b) Arthur e Eduardo c) Bruno e Caio d) Arthur e Bruno e) Douglas e Eduardo
Alternativa correta: a) Caio e Eduardo.
Nessa questão de análise combinatória, devemos utilizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.
Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de elementos tomados (n).
Multiplicando o número de apostas pela quantidade de combinações, temos:
Arthur: 250 x C(6,6)
Bruno: 41 x C(7,6) + 4 x C(6,6)
Caio: 12 x C(8,6) + 10 x C(6,6)
Douglas: 4 x C(9,6)
Eduardo: 2 x C(10,6)
De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem premiados.
(em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)
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