BLOG DE CAMOCIM: MATEMÁTICA PARA CONCURSOS E ENEM

O logaritmo de um número b na base a é igual ao expoente x ao qual se deve elevar a base, de modo que a potência ax seja igual a b, sendo a e b números reais e positivos e a≠1.

Este conteúdo é frequentemente cobrado nos vestibulares. Assim, aproveite as questões comentadas e resolvidas para tirar todas as suas dúvidas.

Questão 1

Determine o valor de:

a) $log com raiz quadrada de 2 subscrito fim do subscrito espaço 4$

b) $log com cúbica raiz de 4 subscrito fim do subscrito espaço 2$

c) $log com 7 subscrito quinta raiz de 7 ao quadrado fim da raiz$

Ver Resposta
Respostas corretas: a) 4; b) 3/2; e c) 2/5.
Pela definição de logaritmo, temos:
$log com reto a subscrito reto b espaço igual a espaço reto x espaço seta dupla para a esquerda e para a direita reto a à potência de reto x espaço igual a espaço reto b$
O logaritmo de b na base a (sendo a e b números reais e positivos e a≠1) é igual ao expoente x, ao qual se deve elevar a base, fazendo com quea potência axseja igual a b.
a) $log com raiz quadrada de 2 subscrito fim do subscrito espaço 4 espaço igual a espaço reto x espaço seta dupla para a direita parêntese esquerdo raiz quadrada de 2 parêntese direito à potência de reto x espaço igual a espaço 4 espaço seta dupla para a direita parêntese esquerdo 2 à potência de começar estilo em linha tipográfico 1 meio fim do estilo fim do exponencial parêntese direito à potência de reto x igual a espaço 4 espaço seta dupla para a direita seta dupla para a direita 2 à potência de começar estilo em linha tipográfico reto x sobre 2 fim do estilo fim do exponencial espaço igual a espaço 2 ao quadrado espaço seta dupla para a direita reto x sobre 2 igual a 2 espaço seta dupla para a direita reto x espaço igual a espaço 2.2 espaço igual a 4$
b) $log com cúbica raiz de 4 subscrito fim do subscrito espaço 2 espaço igual a espaço reto x espaço seta dupla para a direita parêntese esquerdo cúbica raiz de 4 parêntese direito à potência de reto x espaço igual a espaço 2 espaço seta dupla para a direita parêntese esquerdo cúbica raiz de 2 ao quadrado fim da raiz parêntese direito à potência de reto x espaço igual a espaço 2 espaço seta dupla para a direita seta dupla para a direita parêntese esquerdo 2 à potência de tipográfico 2 sobre 3 fim do exponencial parêntese direito à potência de reto x igual a 2 espaço seta dupla para a direita 2 à potência de tipográfico numerador 2 reto x sobre denominador 3 fim da fração fim do exponencial igual a espaço 2 espaço seta dupla para a direita numerador 2 reto x sobre denominador 3 fim da fração igual a 1 seta dupla para a direita reto x espaço igual a 3 sobre 2$
c) $log com 7 subscrito quinta raiz de 7 ao quadrado fim da raiz igual a reto x espaço seta dupla para a direita 7 à potência de reto x igual a quinta raiz de 7 ao quadrado fim da raiz seta dupla para a direita 7 à potência de reto x igual a 7 à potência de tipográfico 2 sobre 5 fim do exponencial seta dupla para a direita reto x espaço igual a espaço 2 sobre 5$
Portanto, $log com raiz quadrada de 2 subscrito fim do subscrito espaço 4 espaço igual a espaço 4$ , $log com cúbica raiz de 4 subscrito fim do subscrito espaço 2 espaço igual a espaço 3 sobre 2$ , $log com 7 subscrito quinta raiz de 7 ao quadrado fim da raiz igual a 2 sobre 5$

Questão 2

Calcule:

a) $16 à potência de log com 4 subscrito 5 fim do exponencial$

b) $3 à potência de log com 5 subscrito 10 espaço. espaço log com 3 subscrito 5 espaço fim do exponencial$

c) $4 à potência de 1 espaço mais espaço log com 4 subscrito 6 fim do exponencial$

Ver Resposta
Respostas corretas: a) 25; b) 10 e c) 24.
Uma potência que apresenta logaritmo como expoente pode ser resolvida da seguinte forma:
$reto a à potência de log com reto a subscrito reto b fim do exponencial igual a reto b$
Ou seja, se tomarmos o valor do logaritmo como sendo $log com reto a subscrito reto b espaço igual a espaço reto c$ , então podemos dizer que $reto a à potência de reto c igual a reto b$ .
a) $Sabendo espaço que espaço 16 espaço igual a espaço 4 ao quadrado vírgula espaço então 16 à potência de log com 4 subscrito 5 fim do exponencial espaço igual a espaço parêntese esquerdo 4 ao quadrado parêntese direito à potência de log com 4 subscrito 5 fim do exponencial espaço seta dupla para a direita parêntese esquerdo 4 à potência de log com 4 subscrito 5 fim do exponencial parêntese direito ao quadrado espaço igual a espaço 5 ao quadrado espaço igual a espaço 25$
b) $3 à potência de log com 5 subscrito 10 espaço. espaço log com 3 subscrito 5 espaço fim do exponencial igual a espaço parêntese esquerdo 3 à potência de log com 3 subscrito 5 fim do exponencial parêntese direito à potência de log com 5 subscrito 10 fim do exponencial espaço igual a espaço 5 à potência de log com 5 subscrito 10 fim do exponencial espaço igual a espaço 10$
c) $4 à potência de 1 espaço mais espaço log com 4 subscrito 6 fim do exponencial espaço igual a espaço 4 à potência de 1 espaço. espaço 4 à potência de log com 4 subscrito 6 fim do exponencial espaço igual a espaço 4.6 espaço igual a espaço 24$
Portanto, $16 à potência de log com 4 subscrito 5 fim do exponencial igual a espaço 25$ , $3 à potência de log com 5 subscrito 10 espaço. espaço log com 3 subscrito 5 espaço fim do exponencial igual a 10$ e $4 à potência de 1 espaço mais espaço log com 4 subscrito 6 fim do exponencial igual a espaço 24$ .

Questão 3

(Fuvest - 2018) Sejam f : ℝ → ℝ e g: ℝ+→ ℝ definidas por $reto f parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a 1 meio 5 à potência de reto x espaço reto e espaço reto g parêntese esquerdo reto x parêntese direito igual a log com 10 subscrito reto x vírgula$ respectivamente.

O gráfico da função composta g o f é:

Ver Resposta
Alternativa correta: a.
Nesta questão, queremos identificar como será o gráfico da função gof. Primeiro, precisamos definir a função composta. Para tal, iremos substituir o x na função g(x) pela f(x), ou seja:
$g com o subscrito f espaço igual a espaço log com 10 subscrito parêntese esquerdo 1 meio.5 à potência de x parêntese direito$
Agora que já conhecemos a função composta, iremos simplificar a função encontrada. Para isso, usaremos algumas propriedades dos logaritmos.
Como 1/2 está multiplicando 5x, podemos escrever como sendo a soma dos logaritmos, assim temos:
$g com o subscrito f igual a log com 10 subscrito 1 meio mais log com 10 subscrito 5 à potência de x$
Sendo 1/2 uma divisão, vamos escrever como a subtração de logaritmos e escrever o x do expoente multiplicando o logaritmo:
$g com o subscrito f igual a log com 10 subscrito 1 menos log com 10 subscrito 2 mais x. log com 10 subscrito 5$
Sabemos que log101 = 0. Substituindo na expressão acima:
$g com o subscrito f igual a x. log com 10 subscrito 5 menos log com 10 subscrito 2$
Como tanto o log10 2 quanto o log10 5 são números positivos, a função é do tipo f(x) = ax - b, sendo a = log10 5 e b =log10 2.
Temos uma função afim cujo gráfico é uma reta crescente, pois o coeficiente a é positivo (a>0) e a reta corta o eixo y no ponto - log10 2.
Portanto, o gráfico da função composta gof, será o da alternativa a:

Questão 4

(UFRGS - 2018) Se log3 x + log9 x = 1, então o valor de x é

a) ∛2.
b) √2.
c) ∛3.
d) √3.
e) ∛9.

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Alternativa correta: e) ∛9.
Temos a soma de dois logaritmos que apresentam bases diferentes. Então, para começar, vamos fazer uma mudança de base.
Lembrando que para mudar a base de um logaritmo usamos a seguinte expressão:
$log com reto a subscrito reto b igual a numerador log com reto c subscrito reto b sobre denominador log com reto c subscrito reto a fim da fração Neste espaço caso vírgula espaço vamos espaço passar espaço reto o espaço log com 9 subscrito reto x espaço para espaço reto a espaço base espaço 3 dois pontos log com 9 subscrito reto x igual a numerador log com 3 subscrito reto x sobre denominador log com 3 subscrito 9 fim da fração Sendo espaço log com 3 subscrito 9 igual a log com 3 subscrito 3 ao quadrado seta dupla para a direita 2. log com 3 subscrito 3 igual a 2 vírgula espaço então dois pontos log com 9 subscrito reto x igual a numerador log com 3 subscrito reto x sobre denominador 2 fim da fração Vamos espaço substituir espaço esse espaço valor espaço na espaço equação espaço reto e espaço resolvê menos la dois pontos log com 3 subscrito reto x mais numerador log com 3 subscrito reto x sobre denominador 2 fim da fração igual a 1 numerador 2 log com 3 subscrito reto x mais log com 3 subscrito reto x sobre denominador 2 fim da fração igual a 1 numerador 3 log com 3 subscrito reto x sobre denominador 2 fim da fração igual a 1 log com 3 subscrito reto x igual a 2 sobre 3 Aplicando espaço reto a espaço definição espaço de espaço logaritmo vírgula espaço temos dois pontos reto x igual a 3 à potência de 2 sobre 3 fim do exponencial reto x igual a cúbica raiz de 3 ao quadrado fim da raiz igual a cúbica raiz de 9$
Portanto, se log3 x + log9 x = 1, então o valor de x é ∛9.

Questão 5

(Enem - 2017) Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5 000,00. Para pagar as prestações, dispõe de, no máximo, R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula

$P igual a numerador 5000 espaço x espaço 1 vírgula 013 à potência de n espaço x espaço 0 vírgula 013 sobre denominador parêntese esquerdo 1 vírgula 013 à potência de n menos 1 parêntese direito fim da fração$

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é

a) 12.
b) 14.
c) 15.
d) 16.
e) 17.

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Alternativa correta: d) 16.
Conforme o problema, o valor máximo que a pessoa poderá pagar é R$ 400,00. Podemos representar matematicamente essa condição como:
$reto P menor ou igual a 400 seta dupla para a direita numerador 5000.1 vírgula 013 à potência de reto n.0 vírgula 013 sobre denominador parêntese esquerdo 1 vírgula 013 à potência de reto n menos 1 parêntese direito fim da fração menor ou igual a 400$
Portanto, para encontrar o menor número de parcela, temos que resolver a inequação acima. Vamos então começar, passando o denominador para o outro lado da desigualdade:
65 . 1,013n ≤ 400 . (1,013n - 1)
65 . 1,013n ≤ 400 . 1,013n - 400
400 ≤ 400 . 1,013n - 65 . 1,013n
400 ≤ 335 . 1,013n
Como o valor que estamos procurando (n) está no expoente, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da desigualdade. Assim:
log 400 ≤ log (350 . 1,013n)
O logaritmo da multiplicação é igual a soma dos logaritmos e que o logaritmo de uma potência é igual a multiplicação do expoente pelo logaritmo. Aplicando essas propriedades, temos:
log 400 ≤ log 350 + n . log 1,013
Substituindo os valores informados no problema para os logaritmos da desigualdade:
$2 vírgula 602 menor ou igual a 2 vírgula 525 mais 0 vírgula 005. reto n 2 vírgula 602 menos 2 vírgula 525 menor ou igual a 0 vírgula 005. reto n numerador 0 vírgula 077 sobre denominador 0 vírgula 005 fim da fração menor ou igual a reto n reto n maior ou igual a 15 vírgula 4$
Portanto, o número menor de parcelas terá que ser 16, visto que n tem que ser maior que 15,4.

Questão 6

(UFRGS - 2017) Se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 y/x é

a) 2
b) 4
c) 6
d) 8
e) 10

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Alternativa correta: a) 2.
Usando a definição de logaritmo, podemos encontrar o valor de x e de y:
Substituindo esses valores na expressão apresentada, temos:
$reto k igual a log com 20 subscrito 10000 sobre 25 reto k igual a log com 20 subscrito 400 reto k igual a log com 20 subscrito 20 ao quadrado reto k igual a 2. log com 20 subscrito 20 reto k igual a 2$
Portanto, se log5 x = 2 e log10 y = 4, então log20 y/x é 2.

Questão 7

(UERJ - 2016) Admita que a ordem de grandeza de uma medida x é uma potência de base 10, com expoente n inteiro, para

$10 à potência de reto n menos 1 meio fim do exponencial menor ou igual a reto x menor ou igual a 10 à potência de reto n mais 1 meio fim do exponencial$

Considere que um terremoto tenha liberado uma energia E, em joules, cujo valor numérico é tal que log10 E = 15,3. A ordem de grandeza de E, em joules, equivale a:

a) 1014
b) 1015
c) 1016
d) 1017

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Alternativa correta: b) 1015.
Aplicando a definição de logaritmo, temos que:
log10 E = 15,3
E = 10 15,3
A ordem de grandeza deverá se uma potência x, tal que:
1015 - 0,5 ≤ x < 1015 + 0,5
1014,5 ≤ x < 1015,5
Como o expoente da ordem de grandeza tem que ser um número inteiro, o valor de n será 15.
Portanto, a ordem de grandeza de E, em joules, equivale a 1015.

Questão 8

(Enem - 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3 000 ºC e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min.

Use 0,477 como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para log10(11).

O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de

a) 22.
b) 50.
c) 100.
d) 200.
e) 400.

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Alternativa correta: d) 200.
Primeiro, é necessário encontrar uma expressão que represente a temperatura em função do tempo, partindo da temperatura inicial. Sabemos que a temperatura diminui 1% a cada 30 min.
Então, para calcular a redução da temperatura, podemos multiplicar seu valor por 0,99, pois 1% corresponde a 0,01 e 1 - 0,01 = 0,99.
Vamos observar o que acontece com a temperatura nas primeiras três horas:
meia hora → 3000 . 0,99 = 2970
1 hora → 3000 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)2
1h e meia → 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)3
2h → 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)4
2h e meia→ 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)5
3h → 3000 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 . 0,99 = 3000 . (0,99)6
A partir desse valores, podemos representar a função como:
T(t) = To . 0,992t
Onde,
T(t) : temperatura em uma determinada hora
To : temperatura inicial ( 3000 ºC)
t: tempo (h)
Agora que conhecemos a lei da função, podemos substituir os dados do problema:
$30 igual a 3000.0 vírgula 99 à potência de 2 t fim do exponencial 30 sobre 3000 igual a 0 vírgula 99 à potência de 2 t fim do exponencial 1 sobre 100 igual a 0 vírgula 99 à potência de 2 t fim do exponencial 10 à potência de menos 2 fim do exponencial igual a 0 vírgula 99 à potência de 2 t fim do exponencial$
Como o valor que estamos procurando está no expoente, vamos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação, assim temos:
$log com 10 subscrito 10 à potência de menos 2 fim do exponencial igual a log com 10 subscrito 0 vírgula 99 à potência de 2 reto t fim do exponencial Aplicando espaço reto a espaço propriedade espaço do espaço logaritmo espaço de espaço uma espaço potência dois pontos menos 2 igual a 2 reto t. log com 10 subscrito 0 vírgula 99 Sendo espaço 0 vírgula 99 igual a numerador 3 ao quadrado.11 sobre denominador 100 fim da fração dois pontos menos 2 igual a 2 reto t. log com 10 subscrito numerador 3 ao quadrado.11 sobre denominador 10 ao quadrado fim da fração Usando espaço reto a espaço propriedade espaço do espaço logaritmo espaço de espaço um espaço produto espaço reto e espaço de espaço um espaço quociente dois pontos menos 2 igual a 2 reto t. parêntese esquerdo 2. log com 10 subscrito 3 mais log com 10 subscrito 11 menos 2. log com 10 subscrito 10 parêntese direito Substituindo espaço os espaço valores espaço dos espaço logaritmos dois pontos menos 2 igual a 2 reto t. parêntese esquerdo 2.0 vírgula 477 mais 1 vírgula 041 menos 2 parêntese direito menos 2 igual a 2 reto t. parêntese esquerdo menos 0 vírgula 005 parêntese direito reto t igual a numerador 2 sobre denominador 0 vírgula 01 fim da fração igual a 200$
Portanto, o tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de 200.

Questão 9

(Fuvest - 2016) Use as propriedades do logaritmo para simplificar a expressão

$reto S igual a numerador 1 sobre denominador 2. log com 2 subscrito 2016 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador 5. log com 3 subscrito 2016 fim da fração mais numerador 1 sobre denominador 10. log com 7 subscrito 2016 fim da fração$

O valor de S é

$a parêntese direito espaço 1 meio b parêntese direito espaço 1 terço c parêntese direito espaço 1 quinto d parêntese direito espaço 1 sobre 7 e parêntese direito espaço 1 sobre 10$

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Alternativa correta: e) 1/10.
Os logaritmos da expressão possuem bases diferentes, entretanto, os logaritmandos são iguais (2016). Vamos então utilizar a fórmula da mudança de base, que para este caso pode ser escrita como:
$log com b subscrito a igual a numerador 1 sobre denominador log com a subscrito b fim da fração$
Portanto, iremos mudar a base para 2016 e escrever o inverso da fração, ou seja:
$1 meio. numerador 1 sobre denominador log com 2 subscrito 2016 fim da fração igual a numerador log com 2016 subscrito 2 sobre denominador 2 fim da fração 1 quinto. numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar log com 3 subscrito 2016 fim do estilo fim da fração igual a numerador log com 2016 subscrito 3 sobre denominador 5 fim da fração 1 sobre 10. numerador 1 sobre denominador começar estilo mostrar log com 7 subscrito 2016 fim do estilo fim da fração igual a numerador log com 2016 subscrito 7 sobre denominador 10 fim da fração$
Desta forma, a expressão ficará:
$reto S igual a numerador log com 2016 subscrito 2 sobre denominador 2 fim da fração mais numerador log com 2016 subscrito 3 sobre denominador 5 fim da fração mais numerador log com 2016 subscrito 7 sobre denominador 10 fim da fração Reduzindo espaço reto a espaço um espaço mesmo espaço denominador dois pontos reto S igual a numerador 5. log com 2016 subscrito 2 mais 2. log com 2016 subscrito 3 mais log com 2016 subscrito 7 sobre denominador 10 fim da fração$
Agora que temos uma única fração e que os logaritmos possuem bases iguais, podemos juntar todos os termos em um único logaritmo.
Para isso, vamos usar as propriedades do logaritmo de um produto e de uma potência, ou seja:
loga M + logaN = loga (M.N) e M.logaN = logaNM
Aplicando essas propriedades, a expressão será escrita como:
$reto S igual a numerador log com 2016 subscrito 2 à potência de 5 mais log com 2016 subscrito 3 ao quadrado mais log com 2016 subscrito 7 sobre denominador 10 fim da fração reto S igual a numerador log com 2016 subscrito espaço parêntese esquerdo 2 à potência de 5.3 ao quadrado.7 parêntese direito sobre denominador 10 fim da fração reto S igual a numerador log com 2016 subscrito espaço parêntese esquerdo 32.9.7 parêntese direito sobre denominador 10 fim da fração reto S igual a numerador log com 2016 subscrito espaço 2016 sobre denominador 10 fim da fração reto S igual a 1 sobre 10$
Portanto, o valor de S é 1/10.

Questão 10

(UFRGS - 2016) Se 10x = 20y, atribuindo 0,3 para log 2, então o valor de x/y é

a) 0,3.
b) 0,5.
c) 0,7.
d) 1.
e) 1,3.

Ver Resposta
Alternativa correta: e) 1,3.
Podemos aplicar o logaritmo em ambos os lados da equação para tirar as incógnitas do expoente.
log 10x = log 20y ⇒ x . log 10 = y . log 20
Note que 20 = 2 . 10 e ao substituir por esse produto, podemos aplicar a propriedade que diz que o logaritmo do produto é igual a soma dos logaritmos, assim a equação ficará:
x . log 10 = y . log 2 . 10 ⇒ x . log 10 = y (log 2 + log 10)
Lembrando que o log 10 = 1 e substituindo o valor indicado para o log 2:
x = y (0,3 + 1)
x/y = 1,3
Portanto, o valor de x/y é 1,3.

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segunda-feira, 28 de abril de 2025

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS E ENEM