quinta-feira, 17 de abril de 2025

MATEMÁTICA PARA SAEB,SPAECE, ENEM E CONCURSOS

 


Estude com os exercícios de seno, cosseno e tangente resolvidos. Pratique e tire suas dúvidas com os exercícios comentados.

Questão 1

Determine os valores de x e y no triângulo a seguir. Considere sen 37º = 0,60, cosseno de 37º = 0,79 e tan 37º = 0,75.

Imagem associada à questão

Resposta: y = 10,2 m e x = 13,43 m

Para determinar y, usamos o seno de 37º, que é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Vale lembrar que a hipotenusa é o segmento oposto ao ângulo de 90º, logo, vale 17 m.

s e n espaço 37 º igual a y sobre 17 17 espaço. espaço s e n espaço 37 º igual a y 17 espaço. espaço 0 vírgula 60 espaço igual a espaço y 10 vírgula 2 m espaço igual a espaço y

Para determinar x, podemos utilizar o cosseno de 37º, que é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo de 37º e a hipotenusa.

cos espaço 37 º igual a x sobre 17 17 espaço. espaço cos espaço 37 º igual a x 17 espaço. espaço 0 vírgula 79 espaço igual a espaço x 13 vírgula 4 m espaço aproximadamente igual espaço x

Questão 2

No triângulo retângulo a seguir, determine o valor do ângulo reto teta, em graus, e seu seno, cosseno e tangente.

Considere:

sen 28º = 0,47
cos 28º = 0,88

Imagem associada à questão

Resposta: teta igual a 62 sinal de grau ,cos espaço 62 sinal de grau aproximadamente igual 0 vírgula 47 vírgula espaço s e n espaço 62 sinal de grau aproximadamente igual 0 vírgula 88 espaço e espaço a espaço tan espaço 62 sinal de grau espaço aproximadamente igual espaço 1 vírgula 872.

Em um triângulo a soma dos ângulos internos é igual a 180º. Sendo um triângulo retângulo há um ângulo de 90º, assim, restam outros 90º para os dois ângulos.

Desta forma temos:

28 º espaço mais espaço teta espaço igual a espaço 90 º teta espaço igual a espaço 90 º espaço menos espaço 28 º teta espaço igual a espaço 62 º

Como estes ângulos são complementares (a partir de um deles, o outro é o quanto falta para completar 90º), vale que:

cos 62º = sen 28º = 0,47

e

sen 62º = cos 28º = 0,88

Cálculo da tangente

A tangente é a razão entre o seno e o cosseno.

tan espaço 62 º espaço igual a espaço numerador s e n espaço 62 º sobre denominador cos espaço 62 º fim da fração igual a numerador 0 vírgula 88 sobre denominador 0 vírgula 47 fim da fração aproximadamente igual 1 vírgula 872

Questão 3

Em uma determinada hora de um dia ensolarado, a sombra de uma casa se projeta por 23 metros. Esta sobra faz 45º em relação ao solo. Desta forma, determine a altura da casa.

Resposta: A altura da casa é de 23 m.

Para determinar uma altura, conhecendo o ângulo de inclinação, utilizamos a tangente do ângulo de 45°.

A tangente de 45° é igual a 1.

A casa e a sombra no chão, são os catetos de um triângulo retângulo.

tan espaço 45 º igual a numerador c a t e t o espaço o p o s t o sobre denominador c a t e t o espaço a d j a c e n t e fim da fração igual a numerador a l t u r a espaço d a espaço c a s a sobre denominador m e d i d a espaço d a espaço s o m b r a fim da fração tan espaço 45 º igual a a sobre 23 1 igual a a sobre 23 a espaço igual a espaço 23 espaço m

Assim, a altura da casa é de 23 m.

Questão 4

Um agrimensor é um profissional que utiliza conhecimentos matemáticos e geométricos para fazer medições e estudar uma superfície. Utilizando um teodolito, ferramenta que, entre outras funções mede ângulos, posicionado a 37 metros de distância de um edifício, ele encontrou um ângulo de 60° entre um plano paralelo ao solo e altura do edifício. Se o teodolito estava sobre um tripé, a 180 cm do chão, determine a altura do edifício em metros.

Considere raiz quadrada de 3 igual a 1 vírgula 73

Resposta: A altura do prédio é de 65,81 m.

Fazendo um rascunho da situação temos:

Assim, a altura do prédio pode ser determinada utilizando a tangente de 60º, a partir da altura onde o teodolito está, somando o resultado com 180 cm ou, 1,8 m, pois é a altura que ele está do chão.

A tangente de 60° é igual a raiz quadrada de 3.

Altura a partir do teodolito

tan espaço 60 º espaço igual a espaço numerador altura espaço d o espaço p r é d i o sobre denominador 37 fim da fração raiz quadrada de 3 espaço igual a espaço numerador a l t u r a espaço d o espaço p r é d i o sobre denominador 37 fim da fração 1 vírgula 73 espaço. espaço 37 espaço igual a a l t u r a espaço d o espaço p r é d i o 64 vírgula 01 espaço igual a espaço a l t u r a espaço d o espaço p r é d i o

Altura total

64,01 + 1,8 = 65,81 m

A altura do prédio é de 65,81 m.

Questão 5

Determine o perímetro do pentágono.

Considere:
sen 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
tan 67° = 2,35

Imagem associada à questão.

Resposta: o perímetro é de 219,1 m.

O perímetro é a soma dos lados do pentágono. Como há uma parte retangular com a medida de 80 m, o lado oposto também tem 80 m.

O perímetro é dado por:

P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b

Sendo a, paralelo à linha azul tracejada, podemos determinar seu comprimento utilizando a tangente de 67°.

tan espaço 67 sinal de grau igual a a sobre 10 2 vírgula 35 espaço igual a espaço a sobre 10 2 vírgula 35 espaço. espaço 10 espaço igual a espaço a 23 vírgula 5 espaço igual a espaço a

Para determinar o valor de b, utilizamos o cosseno de 67°

cos espaço 67 sinal de grau espaço igual a espaço 10 sobre b b igual a numerador 10 sobre denominador cos espaço 67 sinal de grau fim da fração b igual a numerador 10 sobre denominador 0 vírgula 39 fim da fração b espaço aproximadamente igual 25 vírgula 6

Desta forma, o perímetro é:

P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m

Questão 6

Determine o seno e o cosseno de 1 110°.

Considerando a circunferência trigonométrica temos que uma volta completa possui 360°.

Ao dividirmos 1110° por 360° temos como resultado 3,0833 ... . Isto significam 3 voltas completas e um pouco mais.

Fazendo 360° x 3 = 1080° e subtraindo de 1110 temos:

1110° - 1080° = 30°

Considerando o sentido anti-horário como positivo, após três voltas completas voltamos ao início, 1080° ou 0°. A partir deste ponto avançamos mais 30°.

Assim, o seno e o cosseno de 1110° são iguais ao seno e ao cosseno de 30°

s e n espaço 1110 sinal de grau espaço igual a espaço s e n espaço 30 sinal de grau espaço igual a espaço 1 meio cos espaço 1110 sinal de grau espaço igual a espaço cos espaço 30 sinal de grau espaço igual a espaço numerador raiz quadrada de 3 sobre denominador 2 fim da fração


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