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sábado, 24 de maio de 2025
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS E ENEM - RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES
Umaequação de segundo graué toda a equação na formaax2 + bx + c = 0, com a, b e c números reais e a ≠ 0. Para resolver uma equação deste tipo, pode-se utilizar diferentes métodos.
Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios abaixo para tirar todas as suas dúvidas. Não deixe também de testar seus conhecimentos com as questões resolvidas de concursos.
Exercício 1
A idade da minha mãe multiplicada pela minha idade é igual a 525. Se quando nasci minha mãe tinha 20 anos, quantos anos eu tenho?
Solução
Considerando a minha idade igual a x, podemos então considerar que a idade da minha mãe é igual a x + 20. Como sabemos o valor do produto das nossas idades, então:
x . (x + 20) = 525
Aplicando a propriedades distributiva da multiplicação:
x2 + 20 x - 525 = 0
Chegamos então em uma equação do 2º grau completa, com a = 1, b = 20 e c = - 525.
Para calcular as raízes da equação, ou seja, os valores de x em que a equação é igual a zero, vamos usar a fórmula de Bhaskara.
Primeiro, devemos calcular o valor do ∆:
Para calcular as raízes, usamos:
Substituindo os valores na fórmula acima, iremos encontrar as raízes da equação, assim:
Como a minha idade não pode ser negativa, desprezamos o valor -35. Assim, o resultado é 15 anos.
Exercício 2
Uma praça, representada da figura abaixo, apresenta um formato retangular e sua área é igual a 1 350 m2. Sabendo que sua largura corresponde a 3/2 da sua altura, determine as dimensões da praça.
Solução
Considerando que sua altura é igual a x, a largura será então igual a 3/2x. A área de um retângulo é calculada multiplicando-se sua base pelo valor da altura. Neste caso, temos:
Chegamos a uma equação incompleta do 2º grau, com a = 3/2, b = 0 e c = - 1350, podemos calcular esse tipo de equação, isolando o x e calculando o valor da raiz quadrada.
Como o valor do x representa a medida da altura, iremos desconsiderar o - 30. Assim, a altura do retângulo é igual a 30 m. Para calcular a largura, vamos multiplicar esse valor por 3/2:
Portanto, a largura da praça é igual a 45 m e sua altura é igual a 30 m.
Exercício 3
Determine a soma e o produto das raízes da equação , depois, suas raízes.
Resposta: As raízes são 1 e -6.
Resolução
A soma é obtida por:
O produto é obtido por:
Devemos encontrar dois números que somados sejam iguais a -5 e multiplicados, iguais a -6.
Pela multiplicação, podemos fazer: -6 . 1 = -6
Estes mesmos números somados, devem ser iguais a -5. Temos:
-6 + 1 = -5
Assim, as raízes são 1 e -6.
Exercício 4
Analise a seguinte equação do segundo grau: .
Pode-se afirmar que ela possui:
a) Nenhuma raiz real. b) Duas raízes reais diferentes. c) Duas raízes reais iguais. d) Não é possível concluir.
Resposta: c) Duas raízes reais iguais.
Resolução
Vamos utilizar a fórmula de Bhaskara.
Cálculo do Delta:
Como o delta é zero, a equação possui duas raízes reais iguais.
Ao substituir na fórmula de Bhaskara:
Exercício 5
Considerando a equação , qual das seguintes opções representa sua forma fatorada?
a) (x-3)(x-2) b) (x-2)(x-1) c) 2(x+2)(x-1) d) -3(x-2)(x-1) e) (x-1)(x+3)
Resposta: b) (x-2)(x-1)
Resolução
Sendo a, b e c os coeficientes da equação e x1 e x2 suas raízes, a forma fatorada de uma equação do segundo grau é:
a(x-x1)(x-x2)
Vamos determinar as equações pela fórmula de Bhaskara.
Como a = 1, sua forma fatorada é:
Exercício 6
Para que x = 1 seja raiz da equação 2ax2 + (2a2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, os valores de a deverão ser:
a) 3 e 2 b) - 1 e 1 c) 2 e - 3 d) 0 e 2 e) - 3 e - 2
Solução
Para encontrar o valor do a, primeiro vamos substituir o x por 1. Desta forma, a equação ficará assim:
Agora, devemos calcular a raiz da equação completa da 2º grau, para isso vamos usar a fórmula de Bhaskara.
Portanto, a alternativa correta é a letra c.
Exercício 7
Um estudante de física está estudando o lançamento de projéteis em um laboratório. Ele observa que a altura h em metros do projétil, lançado a uma velocidade inicial v0 em metros por segundo, após t segundos, é dada pela equação do segundo grau:
O estudante lança um projétil com uma velocidade inicial de 20 m/s. Considerando a equação, qual é a altura máxima atingida pelo projétil?
a) 15 metros b) 20 metros c) 25 metros d) 30 metros e) 35 metros
Resolução: d) 30 metros
O ponto mais alto obtido é o vértice da parábola. Podemos obtê-lo pela fórmula:
Onde,
hv é a altura no vértice (ponto mais alto);
a, b e c são os coeficientes da função.
Exercício 8
Um agricultor está fazendo uma horta retangular tal que a largura deve ser dois metros menor que o comprimento e, a área total deve ser de oito metros quadrados. Sendo x a medida do comprimento da horta em metros, suas dimensões são
Resposta: Comprimento 4 e largura 2.
Resolução
Chamando o comprimento do retângulo de x, sua largura deverá ser x - 2.
A área de um retângulo é determinada pelo produto entre a base e a altura.
Onde A é a área.
Substituindo A pelo produto x(x-2), multiplicando x pelos termos dentro do parenteses e passando o 8 para esquerda, temos:
Para determinar o valor de x (que é a medida do comprimento), resolvemos a equação do segundo grau.
O delta da equação fica:
Pela fórmula resolutiva de Bhaskara:
Como se trata de um medida, consideramos x = 4 para o comprimento. Como a largura deve ser 2 metros menor, ela é igual a 2.
Comprimento 4 e largura 2.
Exercício 9
Um departamento de matrículas para a disciplina de cálculo em uma universidade inicia o período de inscrições no dia dois do mês. Eles observaram que o número de matrículas cresce desde a abertura, partindo de zero matrículas, atinge uma quantidade máxima em algum dia e começa a diminuir, até que todas as vagas sejam preenchidas. A quantidade de matrículas por dia segue a função , em que x representa os dias trabalhados e m(x) a quantidade de matrículas.
Abaixo está o calendário do mês de matrículas.
Se x representa os dias trabalhados, ou seja, apenas os dias úteis, o departamento fechará as inscrições para a disciplina de cálculo no dia
a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17
Resposta: e) 17
Resolução
A função que representa o número de inscrições por dia é uma função polinomial do segundo grau.
Como o primeiro dia abre com zero inscrições e o último termina sem inscrições, com todas as vagas preenchidas, estes dias representam os zeros da função, o primeiro e o último.
Podemos calculá-los através do uso da fórmula resolutiva de Bhaskara, fazendo m(x) = 0.
Sendo a função , com
a = -1 b = -15 c = -26
O delta da equação é:
As raízes da equação são:
Isto significa que houveram matrículas por 12 dias, mas apenas em dias úteis. Contando a partir do dia 2 do mês, sem considerar os sábados e domingos, o último dia de matrícula foi o dia 17.
Exercício 10
(Epcar - 2017)
Considere, em ℝ, a equação (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 na variável x, em que m é um número real diferente de - 2.
Analise as afirmativas abaixo e classifique-as em V (VERDADEIRA) ou F (FALSA).
( ) Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio. ( ) Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais. ( ) Na equação, se ∆ >0 , então m só poderá assumir valores positivos.
A sequência correta é
a) V – V – V b) F – V – F c) F – F – V d) V – F – F
Vamos analisar cada uma das afirmações:
Para todo m > 2 a equação possui conjunto solução vazio
Como a equação é do segundo grau em ℝ, não terá solução quando o delta for menor que zero. Calculando esse valor, temos:
Portanto, a primeira afirmação é verdadeira.
Existem dois valores reais de m para que a equação admita raízes iguais.
A equação terá raízes reais iguais quando Δ=0, ou seja:
- 4m + 8 =0 m=2
Portanto, a afirmação é falsa, pois existe apenas um valor de m em que as raízes são reais e iguais.
Na equação, se ∆ >0 , então m só poderá assumir valores positivos.
Para Δ>0, temos:
Como existem no conjunto dos números reais infinitos números negativos menores que 2, a afirmação também é falsa.
, depois, suas raízes.
.
, qual das seguintes opções representa sua forma fatorada?
, em que x representa os dias trabalhados e m(x) a quantidade de matrículas.
, com
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