sábado, 10 de maio de 2025

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS E ENEM - NÚMEROS COMPLEXOS

 


Os números complexos são números que apresentam a forma reto z espaço igual a espaço reto a espaço mais espaço bi, onde a representa a parte real de z e a parte imaginária corresponde a b, sendo i a unidade imaginária.

Questão 1

Qual o resultado obtido com a realização da soma e da subtração, respectivamente, dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i?

a) 2 + 3i e 1 – i
b) 3 + 2i e -4 – i
c) 4 + 3i e 2 – i
d) 1 + 2i e -3 – i

Reposta correta: c) 4 + 3i e 2 – i.

Operação de soma:

z1 + z2 = (a + c, b + d)

Na forma algébrica, temos:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

Portanto:

reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço reto i espaço parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 reto i parêntese direito espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço 1 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 parêntese direito reto i espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço 4 espaço mais espaço 3 reto i

Operação de subtração:

z1 – z2 = (a – c, b – d)

Na forma algébrica, temos:

(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i

Portanto:

reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 espaço subscrito fim do subscrito igual a espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço reto i parêntese direito espaço menos espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 reto i parêntese direito espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço 1 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 1 espaço menos espaço 2 parêntese direito reto i espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço 2 espaço menos espaço reto i

Sendo assim, a soma e a subtração dos números complexos z1 = 3 + i e z2 = 1 + 2i são, respectivamente, 4 + 3i e 2 - i.

Questão 2

Qual a forma algébrica de z no caso 3z = z - (- 8 + 6i)?

a) z = 4 – 2i
b) z = 4 – 3i
c) z = 2 – 2i
d) z = 1 – 2i

Reposta correta: b) z = 4 – 3i.

A forma algébrica de z é utilizada para representar um número complexo através da fórmula:

z = x + yi

Onde:

x é a parte real de z

y é a parte imaginária de z

Portanto:

3 reto z espaço igual a espaço reto z espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 8 espaço mais espaço 6 reto i parêntese direito espaço espaço espaço 3 reto z espaço menos espaço reto z espaço igual a espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 8 espaço mais espaço 6 reto i parêntese direito espaço espaço espaço 2 reto z espaço igual a espaço 8 espaço menos espaço 6 reto i espaço espaço espaço reto z espaço igual a espaço numerador 8 espaço menos espaço 6 reto i sobre denominador 2 fim da fração espaço espaço espaço reto z espaço igual a espaço 4 espaço menos espaço 3 reto i

Logo, a forma algébrica de z no caso 3z = z - (-8 + 6i) é z = 4 – 3i.

Questão 3

O resultado -5 - 5i é obtido realizando qual das operações abaixo com os números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = -2 + i? (Lembre-se que i2 = -1).

a) z1 + z2
b) z1 –z2
c) z1z2

Resposta correta: c) z1z2.

Para encontrar a resposta correta, vamos realizar as operações apresentadas nas alternativas.

a) z1 + z2

reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 3 reto i espaço parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 2 espaço mais espaço reto i parêntese direito espaço reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 espaço subscrito fim do subscrito igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 3 espaço mais espaço 1 parêntese direito reto i espaço reto z com 1 subscrito espaço mais espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 1 espaço mais espaço 4 reto i

b) z1 -z2

reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 espaço subscrito fim do subscrito igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 3 reto i parêntese direito espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 2 espaço mais espaço reto i parêntese direito espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 2 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 3 espaço menos espaço 1 parêntese direito reto i espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito espaço menos espaço reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço 3 espaço mais espaço 2 reto i

c) z1z2

reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço parêntese esquerdo 1 espaço mais espaço 3 reto i espaço parêntese direito parêntese esquerdo menos 2 espaço mais espaço reto i parêntese direito espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço 1 parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço mais espaço 1. reto i espaço mais 3 reto i parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço mais espaço 3 reto i. reto i espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 2 espaço mais espaço reto i espaço menos espaço 6 reto i espaço mais espaço 3 reto i ao quadrado espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 2 espaço menos espaço 5 reto i espaço mais espaço 3 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 2 espaço menos 3 espaço menos espaço 5 reto i espaço espaço espaço reto z com 1 subscrito reto z com 2 subscrito espaço igual a espaço menos 5 espaço menos espaço 5 reto i

Sendo assim, o resultado -5 - 5i é obtido pela multiplicado de z1 e z2.

Questão 4

O valor de z8, para z = 2 - 2i, é: (Lembre-se que i2 = -1)

a) 3024
b) 4096
c) 5082
d) 1294

Resposta correta: b) 4096.

Podemos representar z8 como (z2)4, pois 2.4 = 8.

Portanto, vamos começar encontrando o valor de z2.

reto z ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo 2 espaço menos espaço 2 reto i parêntese direito parêntese esquerdo 2 espaço menos espaço 2 reto i parêntese direito reto z ao quadrado espaço igual a espaço 2.2 espaço mais 2. parêntese esquerdo menos 2 reto i parêntese direito espaço menos 2 reto i.2 espaço menos 2 reto i. parêntese esquerdo menos 2 reto i parêntese direito reto z ao quadrado espaço igual a espaço 4 espaço menos 4 reto i espaço menos 4 reto i espaço mais espaço 4 reto i ao quadrado reto z ao quadrado espaço igual a espaço 4 espaço menos espaço 8 reto i espaço mais espaço espaço 4 reto i ao quadrado espaço reto z ao quadrado espaço igual a espaço 4 espaço menos espaço 8 reto i espaço mais espaço espaço 4 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito vírgula espaço pois espaço reto i ao quadrado espaço igual a espaço menos 1 reto z ao quadrado espaço igual a espaço 4 espaço menos espaço 8 reto i espaço menos espaço espaço 4 z ao quadrado espaço igual a espaço menos 8 reto i

Agora, calculamos (z2)4.

parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 8 reto i parêntese direito à potência de 4 espaço parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 8 parêntese direito à potência de 4. parêntese esquerdo reto i parêntese direito à potência de 4 espaço parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a 4096. parêntese esquerdo reto i ao quadrado parêntese direito ao quadrado parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a 4096. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito ao quadrado parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a 4096.1 parêntese esquerdo reto z ao quadrado parêntese direito à potência de 4 espaço igual a 4096

Portanto, se z = 2 - 2i então z8 é igual a 4096.

Questão 5

Quais os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5? (Lembre-se que i2 = -1).

a) -2 + i e -2 – i
b) -1 + i e -1 – i
c) -2 + i e -1 + i
d) -1 + 2i e -1 + i

Resposta correta: a) -2 + i e -2 - i.

Para resolver a equação x2 + 4x + 5 utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

reto x igual a espaço numerador menos reto b mais ou menos raiz quadrada de reto b ao quadrado menos 4 ac fim da raiz sobre denominador 2 reto a fim da fração

Como a = 1, b = 4 e C = 5, temos:

reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de 4 ao quadrado menos 4.1.5 fim da raiz sobre denominador 2.1 fim da fração reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de 16 menos 20 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de menos 4 fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de 4. reto i ao quadrado fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração vírgula espaço pois espaço reto i ao quadrado igual a menos 1 espaço reto e espaço 4. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito espaço igual a espaço menos 4 reto x igual a espaço numerador menos 4 mais ou menos raiz quadrada de 4. reto i ao quadrado fim da raiz sobre denominador 2 fim da fração reto x igual a numerador menos 4 mais ou menos 2 reto i sobre denominador 2 fim da fração espaço abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com reto x apóstrofo igual a numerador menos 4 mais 2 reto i sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2 mais reto i fim da célula linha com célula com reto x apóstrofe dupla igual a numerador menos 4 menos 2 reto i sobre denominador 2 fim da fração igual a menos 2 menos reto i fim da célula fim da tabela fecha

Portanto, os valores de x que resolvem a equação do 2º grau x2 + 4x + 5 são -2 + i e -2 - i.

Questão 6

Quais os valores de x para que o número complexo z = x + (x2 - 1)i seja um número real?

a) x = mais ou menos 1
b) x = mais ou menos 3
c) x = mais ou menos 4
d) x = mais ou menos2

Resposta correta: a) x = mais ou menos 1.

Um número complexo é formado por:

tabela linha com reto z igual a reto a mais célula com espaço espaço reto b espaço reto i fim da célula blank linha com blank blank seta para baixo blank seta para baixo blank linha com blank blank célula com parte espaço real fim da célula blank célula com espaço espaço espaço espaço parte imaginária fim da célula blank fim da tabela

Portanto, para um número complexo ser real é necessário que a parte imaginária seja nula. Sendo assim, para z = x + (x2 - 1)i ser um número real x2-1 deve ser igual a 0.

x2 - 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = mais ou menos1

Questão 7

Quais os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y – 1)i = 8 + 5i seja verdadeira?

a) x = 4 e y = 6
b) x = 2 e y = 6
c) x = 4 e y = 7
d) x = 5 e y = 9

Resposta correta: a) x = 4 e y = 6.

Sendo dois números complexos z1 = (a, b) e z2 = (c, d), eles são iguais quando a = c e b = d. Isso porque eles possuem partes reais e imaginárias idênticas. Assim:

a + bi = c + di quando a = c e b = d

Então, para 2x + (y – 1)i = 8 + 5i, temos:

tabela linha com célula com 2 reto x espaço igual a espaço 8 reto x espaço igual a espaço 8 sobre 2 reto x espaço igual a espaço 4 fim da célula e célula com reto y espaço menos espaço 1 espaço igual a 5 reto y espaço igual a espaço estreito 5 espaço mais espaço 1 reto y espaço igual a espaço 6 fim da célula fim da tabela

Portanto, os valores de x e y para que a igualdade 2x + (y – 1)i = 8 + 5i seja verdadeira devem ser 4 e 6, respectivamente.

Questão 8

Qual o resultado da divisãonumerador 8 menos 2 reto i sobre denominador 1 mais reto i fim da fração? (Lembre-se que i2 = -1).

a) 2 – 4i
b) 3 – 5i
c) 5 – 2i
d) 2 – i

Resposta correta: b) 3 - 5i.

Para efetuar a divisão de dois números complexos devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.

z com 1 subscrito sobre z com 2 subscrito igual a numerador z com 1 subscrito. z com 2 subscrito em moldura superior fecha moldura sobre denominador z com 2 subscrito. z com 2 subscrito em moldura superior fecha moldura fim da fração

O conjugado de um número complexo é indicado por z, definido por z = a – bi. Assim, troca-se o sinal de sua parte imaginária.

Então, se z = a + bi, logo z = a – bi

numerador 8 menos 2 reto i sobre denominador 1 mais reto i fim da fração igual a numerador parêntese esquerdo 8 menos 2 reto i parêntese direito parêntese esquerdo 1 menos reto i parêntese direito sobre denominador parêntese esquerdo 1 mais reto i parêntese direito parêntese esquerdo 1 menos reto i parêntese direito fim da fração seta dupla para a direita seta dupla para a direita numerador 8.1 espaço menos 8. reto i espaço menos 2 reto i.1 espaço menos 2 reto i. parêntese esquerdo menos reto i parêntese direito sobre denominador 1.1 espaço mais espaço 1. parêntese esquerdo menos reto i parêntese direito espaço mais espaço reto i.1 espaço menos espaço reto i. reto i fim da fração seta dupla para a direita seta dupla para a direita numerador 8 espaço menos espaço 8 reto i espaço menos espaço 2 reto i espaço mais espaço 2 reto i ao quadrado sobre denominador 1 espaço menos espaço reto i ao quadrado fim da fração seta dupla para a direita seta dupla para a direita numerador 8 espaço menos espaço 8 reto i espaço menos espaço 2 reto i espaço mais espaço 2 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito sobre denominador 1 espaço menos espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da fração seta dupla para a direita seta dupla para a direita numerador 8 espaço menos espaço 10 reto i espaço menos espaço 2 sobre denominador 1 espaço mais espaço 1 fim da fração seta dupla para a direita seta dupla para a direita numerador 6 menos 10 reto i sobre denominador 2 fim da fração seta dupla para a direita seta dupla para a direita espaço 3 espaço mais espaço 5 reto i

Portanto, o resultado da divisão é 3 - 5i, conforme a letra b.

Questão 9

(UFBA) Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de a.c + b.

Resposta correta: – 2 + 18i

Primeiro, devemos calcular o valor de a.c

reto a. reto c espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 4 mais 3 reto i parêntese direito parêntese esquerdo 4 menos 3 reto i parêntese direito reto a. reto c espaço igual a espaço menos 4.4 espaço menos 4. parêntese esquerdo menos 3 reto i parêntese direito espaço mais 3 reto i.4 espaço mais 3 reto i. parêntese esquerdo menos 3 reto i parêntese direito reto a. reto c espaço igual a menos 16 espaço mais espaço 12 reto i espaço mais espaço 12 reto i espaço menos espaço 9 reto i ao quadrado reto a. reto c espaço igual a menos 16 espaço mais espaço 24 reto i espaço menos 9 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito reto a. reto c espaço igual a menos 16 espaço mais 24 reto i espaço mais 9 reto a. reto c espaço igual a menos 7 espaço mais espaço 24 reto i

Agora, calculamos a.c + b

reto a. reto c espaço mais espaço reto b espaço igual a espaço parêntese esquerdo menos 7 mais 24 reto i parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 5 menos 6 reto i parêntese direito reto a. reto c espaço mais espaço reto b espaço igual a parêntese esquerdo menos 7 mais 5 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 24 menos 6 parêntese direito reto i reto a. reto c espaço mais espaço reto b espaço igual a menos 2 espaço mais espaço 18 reto i

Portanto, se a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , então o valor de a.c + b é igual a – 2 + 18i.

Questão 10

(FURG) Se u = 1 – 2i é um número complexo e reto u em moldura superior , seu conjugado, então z = u2 + 3reto u em moldura superior é igual a:

a) – 6 – 2i
b) 2i
c) – 6
d) 8 + 2i
e) – 6 + 2i

Resposta correta: b) 2i.

Primeiramente, devemos calcular o valor de u2.

reto u ao quadrado espaço igual a espaço parêntese esquerdo 1 menos 2 reto i parêntese direito parêntese esquerdo 1 menos 2 reto i parêntese direito reto u ao quadrado espaço igual a 1.1 espaço mais 1. parêntese esquerdo menos 2 reto i parêntese direito espaço menos 2 reto i.1 espaço menos 2 reto i. parêntese esquerdo menos 2 reto i parêntese direito reto u ao quadrado espaço igual a 1 espaço menos 2 reto i espaço menos 2 reto i espaço mais 4 reto i ao quadrado reto u ao quadrado espaço igual a 1 espaço menos 4 reto i espaço mais 4 parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito reto u ao quadrado espaço igual a 1 menos 4 reto i menos 4 reto u ao quadrado espaço igual a menos 3 menos 4 reto i

Se u = 1 – 2i então o seu conjunto é reto u em moldura superior = 1 + 2i e 3reto u em moldura superior = 3.(1+2i) = 3+6i

Agora, calculamos z = u2 + 3reto u em moldura superior

reto z espaço igual a espaço reto u ao quadrado espaço mais espaço 3 reto u em moldura superior reto z espaço igual a parêntese esquerdo menos 3 menos 4 reto i parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo 3 mais 6 reto i parêntese direito reto z espaço igual a parêntese esquerdo menos 3 mais 3 parêntese direito espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 4 mais 6 parêntese direito reto i reto z espaço igual a 2 reto i

Portanto, o resultado é 2i, conforme a letra b.


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