CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
NUMEROS RACIONAIS
Numero racional é todo o numero que pode ser escrito na forma a/b (com b diferente de zero)
Exemplos :
a) 5 = 5/1
b) -2 = -2/1
c) 0,7 = 7/10
d) 2,83 = 283/100
e) 0,444... = 4/9
f) 0,7272... 72/99
Observe que:
- todo o número inteiro é um número racional
- toda decimal exata é um número racional
- toda decimal periódica é um número racional
NÚMEROS IRRACIONAIS
Os números que não podem ser escritos em forma de fração são chamados de números irracionais , os números irracionais têm infinitas casas decimais e não são periódicas.
Exemplos
a) 0,4137128.....
b) 7,1659314....
c) -0,4837616...
d) -2,8283541....
As raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos são também exemplos de números irracionais.
a) √2 = 1,4142....
b) √3 = 1,7320....
c) √5 = 2,2360...
d) √6 = 2,4494...ATENÇÃO !
Observe que :
√4 é um número racional, pois √4 = 2
√9 é um número racional pois √9 = 3
EXERCICIOS
1) Quais destes números são racionais?
a) 4
b) 8
c) 0
d) -7
e) 0,3
f) 2,9
g) -3,8
h) 0,473
i) 1,845
2) Classifique em racional ou irracional cada número seguinte:
a) 0,777..
b) 4,1212...
c) 5,1318..
d) 0,1465..
e) 2,8181...
f) 4,845845...
g) 3,476582...
h) 0,193238...
i) 6,123123...
j) 1,234576...
3) Determine as raízes apenas quando são números naturais
a) √1
b) √2
c) √3
d) √4
e) √5
f) √6
g) √7
h) √8
i) √9
Responda :
a) quais dos números acima são racionais?
b) Quais dos números acima são Irracionais?
4) Classifique em racional ou irracional cada número seguinte:
a) √12
b) √15
c) √16
d) √24
e) √36
f) √49
g) √44
h) √58
i) √60
j) √64
k) √72
l) √81
NÚMEROS REAIS
A união dos conjuntos dos números racionais e irracionais chama-se conjunto dos números reais que será indicado com IR .
Exemplos
a) 3/5 é um número racional. É também um número real
b) √7 é um número irracional .É também um número real
Obs: que todo o número natural é inteiro, todo o numero inteiro é também racional e todo o racional é também real
EXERCÍCIOS
1) Observe o conjunto A e responda
A = { √6,√15, √20, √25, √36, √40, √49}
a) Quais os elementos de A são números racionais?
b) Quais os elementos de A são números irracionais?
c) Quais elementos de A são números Reais?
2) Responda :
a) Todo o número racional é real?
b) Todo o número irracional é real?
c) Todo número real é racional?
d) Todo número real é irracional?
3) Quais destes números são reais?
a) √1
b) √-1
c) √4
d) √-4
e) √9
f) √-9
OPERAÇÕES EM IR – PROPRIEDADES
Todas as operações estudadas em Q e suas respectivas propriedades também são validas em IR. Para quaisquer numero reais a, b, c, temos:
ADIÇÃO
1) Fechamento
(a + b) € IR
2) Comutativa
a + b = b + a
3) Associativa
(a + b ) + c = a + ( b + c)
4) Elemento Neutro
a + 0 = 0 + a = a
5) Elemento oposto
a + (-a) = 0
MULTIIPLICAÇÃO
1) Fechamento
(a . b) € IR
2) Comutativa
a . b = b . a
3) Associativa
( a . b) . c = a . ( b . c)
4) Elemento Neutro
a . 1 = 1 . a = a
5) Elemento inverso
a . 1/a = 1 ( a ≠ 0 )
6) Distributiva da multiplicação em relação à adição
a. (b + c) = a.b + a.c
EXERCÍCIOS
1) Aplique a propriedade distributiva:
a) 5 . ( x + y)
b) 2 . (3a + 4m)
c) 3.(a + 2m)
d) 7.(3x + y)
e) a.(x - y)
f) 4 . (2a – x )
g) 7. (x – y)
h) -7 . (x – y)
i) 3 . (2x + y)
j) -3 . (2x + y)
k) 2 . (3a – 4y)
l) -2 . (3a – 4y)
2) Sejam as afirmações:
a) a + m + n = n + m + a
b) 3x – 4y + z = -4y + 3x + z
c) -5( x + Y) = -5x – 5y
Quais são verdadeiras?
VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA
Observe os dois tipos de expressão matemáticas:
Expressão numéricas
a) 7 -1 + 4
b) 2. 5 – 3
c) 8² - 1 + 4
Expressões Algébricas
a) x + y – z
b) 2x – 4a +1
c) 3x² - 5x + 9
Expressões numéricas – possuem apenas números.
Expressões algébricas – possuem números e letras ou apenas letras
VALOR NÚMERICO DE UMA EXPRESSÃO ALGÉBRICA
Para obter o valor numérico de uma expressão algébrica, você deve proceder do seguinte modo:
1º) Substituir as letras por números reais dados.
2º) Efetuar as operações indicadas, devendo obedecer à seguinte ordem:
a) Potenciação
b) Divisão e multiplicação
c) Adição e subtração
IMPORTANTE!
Convém utilizar parênteses quando substituímos letras por números negativos
Exemplo 1
Calcular o valor numérica de 2x + 3a
para x = 5 e a = -4
2.x+ 3.a
2 . 5 + 3 . (-4)
10 + (-12)
-2
Exemplo 2
Calcular o valor numérico de x² - 7x +y
para x = 5 e y = -1
x² - 7x + y
5² - 7 . 5 + (-1)
25 – 35 -1
-10 – 1
-11
Exemplo 3
Calcular o valor numérico de :
2 a + m / a + m ( para a = -1 e m = 3)
2. (-1) + 3 / (-1) + 3
-2 + 3 / -1 +3
½
Exemplo 4
Calcular o valor numérico de 7 + a – b (para a= 2/3 e b= -1/2 )
7 + a – b
7 + 2/3 – (-1/2)
7 + 2/3 + 1 / 2
42/6 + 4/6 + 3/6
49/6
EXERCICIOS
1) Calcule o valor numérico das expressões:
a) x – y (para x =5 e y = -4) (R:9)
b) 3x + a (para x =2 e a=6) (R: 12)
c) 2x + m ( para x = -1 e m = -3) (R: -5)
d) m – 2 a ( para m =3 e a = -5) (R: 13)
e) x + y ( para x = ½ e y = -1/5) (R: 3/10)
f) a –b ( para a =3 e b = -1/2) (R: 7/2)
2) Calcule o valor numérico das expressões
a) a³ - 5 a (para a = -2) (R: 2)
b) x² - 2y ( para x = -3 e y =5) (R: -1)
c) 3a² - b² (para a = -2 e b = -7) (R: -37)
d) 5a² + 3ab (para a = -3 e b = 4) (R: 19)
e) a² + 4a (para a = 2/3) (R: 28/9)
EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
TERMO ALGÉBRICO OU MONÔMIO
Um produto de números reais, todos ou em parte sob representação literal, recebe o nome de monômio ou termo algébrico
Exemplos
a) 7x
b) 4/5 a²
c) -5x²y
d) –xyz
Em todo monômio destacamos o coeficiente numérico e a parte literal (formada por letras)
Exemplo
7x , coeficiente 7 e parte literal x
4/5a² coeficiente 4/5, parte literal a²
-5x²y coeficiente -5, parte literal x²y
-xyz coeficiente -1, parte literal xyz
Obs: todo o número real é um monômio sem parte literal
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