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quinta-feira, 1 de maio de 2025

MATEMÁTICA PARA CONCURSOS E ENEM. MATRIZES

Estude com os 11 exercícios sobre multiplicação de matrizes, todos com resolução passo a passo para você tirar suas dúvidas e se sair bem nas provas e vestibulares.

Questão 1

Dadas as seguintes matrizes, marque a opção que indica apenas produtos possíveis.

$começar estilo tamanho matemático 18px negrito A com negrito 2 negrito x negrito 1 subscrito fim do subscrito negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito B com negrito 3 negrito x negrito 3 subscrito fim do subscrito negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito C com negrito 1 negrito x negrito 3 negrito espaço subscrito fim do subscrito negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito espaço negrito D com negrito 3 negrito x negrito 2 subscrito fim do subscrito fim do estilo$

a) C.A , B.A , A.D
b) D.B , D.C , A.D
c) A.C , D.A , C.D
d) B.A , A.B , D.C
e) A.D , D.C , C.A

Ver Resposta
Resposta correta: c) A.C , D.A , C.D
A.C é possível, pois o número de colunas de A (1), é igual ao número de linhas de C (1).
D.A é possível, pois o número de colunas de D (2), é igual ao número de linhas de A (2).
C.D é possível, pois o número de colunas de C (3), é igual ao número de linhas de D (3).

Questão 2

Efetue o produto matricial A . B.

$A igual a abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 2 fim da célula 1 linha com 1 5 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço espaço B igual a abre colchetes tabela linha com 1 3 linha com 0 célula com menos 5 fim da célula linha com 4 1 fim da tabela fecha colchetes$

Ver Resposta
Primeiro devemos verificar se é possível realizar a multiplicação.
Sendo A uma matriz 2x3 e B uma matriz 3x2, é possível multiplicar, pois o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.
Verificamos as dimensões da matriz resultado da multiplicação.
Chamando a matriz resultado do produto A . B de matriz C, esta terá duas linhas e duas colunas. Lembre-se que a matriz resultado do produto "herda" a quantidade de linhas da primeira e a quantidade de colunas da segunda.
Sendo assim, a matriz C será do tipo 2x2. Construindo a matriz genérica C, temos:
C = $abre colchetes tabela linha com célula com c com 11 subscrito fim da célula célula com c com 12 subscrito fim da célula linha com célula com c com 21 subscrito fim da célula célula com c com 22 subscrito fim da célula fim da tabela fecha colchetes$
Para o cálculo de c11, fazemos a multiplicação da primeira linha de A pela primeira coluna de B, somando os termos multiplicados.
c11 = 3.1 + (-2).0 + 1.4 = 3 + 0 + 4 = 7
Para o cálculo de c12, fazemos a multiplicação da primeira linha de A pela segunda coluna de B, somando os termos multiplicados.
c12 = 3.3 + (-2).(-5) + 1.1 = 9 + 10 + 1 = 20
Para o cálculo de c21, fazemos a multiplicação da segunda linha de A pela primeira coluna de B, somando os termos multiplicados.
c21 = 1.1 + 5.0 + (-1).4 = 1 + 0 + (-4) = -3
Para o cálculo de c22, fazemos a multiplicação da segunda linha de A pela segunda coluna de B, somando os termos multiplicados.
c22 = 1.3 + 5.(-5) + (-1).1 = 3 + (-25) + (-1) = -23
Escrevendo a matriz C com seus termos.
C = $abre colchetes tabela linha com 7 20 linha com célula com menos 3 fim da célula célula com menos 23 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

Questão 3

Resolva a equação matricial e determine os valores de x e y.

$abre colchetes tabela linha com célula com menos 1 fim da célula 2 linha com 4 célula com menos 3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com x linha com y fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 3 linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

Ver Resposta
Verificamos que é possível multiplicar as matrizes antes da igualdade, pois são do tipo 2x2 e 2x1, ou seja, o número de colunas da primeira é igual ao número de linhas da segunda. O resultado é a matriz 2x1 ao lado direito da igualdade.
Multiplicamos a linha 1 da primeira matriz pela coluna 1 da segunda matriz e igualamos a 3.
-1.x + 2.y = 3
-x + 2y = 3 (equação I)
Multiplicamos a linha 2 da primeira matriz pela coluna 1 da segunda matriz e igualamos a -4.
4.x + (-3).y = -4
4x - 3y = -4 (equação II)
Temos duas equações e duas incógnitas e podemos resolver um sistema para determinar x e y.
Multiplicando ambos os lados da equação I por 4 e, somando I + II, temos:
$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com menos x mais 2 y igual a 3 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com 4 x menos 3 y espaço igual a menos 4 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 4. parêntese esquerdo menos x mais 2 y parêntese direito igual a 4.3 espaço parêntese esquerdo I parêntese direito fim da célula linha com célula com 4 x menos 3 y espaço igual a menos 4 espaço parêntese esquerdo I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha stack attributes charalign center stackalign right end attributes row menos 4 x mais 8 y igual a 12 end row row mais 4 x menos 3 y igual a menos 4 end row horizontal line row 0 x mais 5 y igual a 8 end row end stack espaço espaço espaço 5 y igual a 8 y igual a 8 sobre 5$
Substituindo y na equação I e resolvendo para x, temos:
$menos x mais 2 y igual a 3 menos x mais 2.8 sobre 5 igual a 3 menos x mais 16 sobre 5 igual a 3 menos x igual a 3 menos 16 sobre 5 menos x igual a 15 sobre 5 menos 16 sobre 5 menos x. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a menos 1 quinto. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito x igual a 1 quinto$
Assim, temos $x igual a 1 quinto espaço e espaço y igual a 8 sobre 5$

Questão 4

Dado o seguinte sistema linear, associe uma equação matricial.

$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com a espaço mais espaço b espaço mais espaço 2 c espaço igual a espaço 3 fim da célula linha com célula com menos a espaço menos espaço b espaço mais espaço c espaço igual a espaço 4 fim da célula linha com célula com 5 a espaço mais espaço 2 b espaço menos espaço c espaço igual a espaço 6 fim da célula fim da tabela fecha$

Ver Resposta
Há três equações e três incógnitas.
Para associar ao sistema uma equação matricial, devemos escrever três matrizes: a dos coeficientes, a das incógnitas e a dos termos independentes.
Matriz dos coeficientes
$abre colchetes tabela linha com 1 1 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 5 2 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$
Matriz das incógnitas
$abre colchetes tabela linha com a linha com b linha com c fim da tabela fecha colchetes$
Matriz dos termos independentes
$abre colchetes tabela linha com 3 linha com 4 linha com 6 fim da tabela fecha colchetes$
Equação matricial
Matriz dos coeficientes . matriz das incógnitas = matriz dos termos independentes
$abre colchetes tabela linha com 1 1 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 5 2 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com a linha com b linha com c fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 3 linha com 4 linha com 6 fim da tabela fecha colchetes$

Questão 5

(UDESC 2019)

Dadas as matrizes e sabendo que A . B = C, então o valor de x + y é igual a:

a) 1/10
b) 33
c) 47
d) 1/20
e) 11

Ver Resposta
Resposta correta: c) 47
Para determinar os valores de x e y, resolvemos a equação matricial obtendo um sistema. Ao resolver o sistema, obtemos os valores de x e y.
$A. B igual a C abre colchetes tabela linha com célula com 2 x menos 1 fim da célula célula com 5 y mais 2 fim da célula linha com célula com 3 x menos 2 fim da célula célula com 4 y mais 3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 4 linha com célula com menos 2 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com 2 y menos 12 fim da célula linha com célula com 6 x mais 2 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$
Fazendo a multiplicação das matrizes:
$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com parêntese esquerdo 2 x menos 1 parêntese direito espaço. espaço 4 espaço mais espaço parêntese esquerdo 5 y mais 2 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço igual a espaço 2 y menos 12 espaço espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com parêntese esquerdo 3 x menos 2 parêntese direito espaço. espaço 4 espaço mais espaço parêntese esquerdo 4 y mais 3 parêntese direito espaço. espaço parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito espaço igual a espaço 6 x mais 2 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 8 x menos 4 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 10 y parêntese direito espaço menos 4 igual a 2 y menos 12 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com 12 x menos 8 mais parêntese esquerdo menos 8 y parêntese direito menos 6 igual a 6 x mais 2 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 8 x menos 12 y igual a menos 12 mais 4 mais 4 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com 6 x menos 8 y igual a 2 mais 6 mais 8 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 8 x menos 12 y igual a menos 4 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I parêntese direito fim da célula linha com célula com 6 x menos 8 y igual a 16 espaço parêntese esquerdo e q u a ç ã o espaço I I parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha$
Isolando x na equação I
$8 x espaço igual a espaço menos 4 mais 12 y x espaço igual a espaço numerador menos 4 sobre denominador 8 fim da fração mais numerador 12 y sobre denominador 8 fim da fração$
Substituindo x na equação II
$6. abre parênteses menos 4 sobre 8 mais numerador 12 y sobre denominador 8 fim da fração fecha parênteses menos 8 y igual a 16 menos 24 sobre 8 mais numerador 72 y sobre denominador 8 fim da fração menos 8 y igual a 16$
igualando os denominadores
$menos 24 sobre 8 mais numerador 72 y sobre denominador 8 fim da fração menos 8 y igual a 16 menos 24 sobre 8 mais numerador 72 y sobre denominador 8 fim da fração menos numerador 64 y sobre denominador 8 fim da fração igual a 16 1 sobre 8. parêntese esquerdo 72 y espaço menos espaço 24 espaço menos espaço 64 y parêntese direito igual a 16 72 y menos 64 y espaço menos espaço 24 igual a 16 espaço. espaço 8 8 y igual a 128 mais 24 8 y igual a 152 y igual a 152 sobre 8 igual a 19$
Para determinar x, substituímos y na equação II
$6 x menos 8 y igual a 16 6 x menos 8.19 igual a 16 6 x menos 152 igual a 16 6 x igual a 16 mais 152 6 x igual a 168 x igual a 168 sobre 6 espaço igual a 28$
Assim,
x + y = 19 + 18
x + y = 47

Questão 6

(FGV 2016) Dada a matrize sabendo que a matrizé a matriz inversa da matriz A, podemos concluir que a matriz X, que satisfaz a equação matricial AX = B , tem como soma de seus elementos o número

a) 14
b) 13
c) 15
d) 12
e) 16

Ver Resposta
Resposta correta: b) 13
Uma matriz qualquer multiplicada pela sua inversa é igual a matriz identidade In. Assim, temos que:
$reto A. reto A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$
Multiplicando os dois lados da equação AX = B por $A à potência de menos 1 fim do exponencial$ .
$A à potência de menos 1 fim do exponencial. A. X igual a A à potência de menos 1 fim do exponencial. B I com n subscrito. X igual a A à potência de menos 1 fim do exponencial. B I com n subscrito. X igual a abre colchetes tabela linha com 2 célula com menos 1 fim da célula linha com 5 3 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 3 linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$
Fazendo o produto do lado direito da equação.
$I com n subscrito. X igual a abre colchetes tabela linha com célula com 2.3 espaço mais espaço parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito espaço espaço fim da célula linha com célula com 5.3 espaço mais espaço 3. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes I com n subscrito. X igual a abre colchetes tabela linha com célula com 6 mais 4 fim da célula linha com célula com 15 menos 12 fim da célula fim da tabela fecha colchetes I com n subscrito. X igual a abre colchetes tabela linha com 10 linha com 3 fim da tabela fecha colchetes$
Como a matriz identidade é o elemento neutro do produto matricial
$X igual a abre colchetes tabela linha com 10 linha com 3 fim da tabela fecha colchetes$
Dessa forma, a soma dos seus elementos é:
10 + 3 = 13

Questão 7

Dada a matriz seguinte matriz A, calcular a sua matriz inversa, caso exista.

$A igual a abre colchetes tabela linha com 3 7 linha com 5 12 fim da tabela fecha colchetes$

Ver Resposta
A é invertível, ou inversível, se existir uma matriz quadrada de mesma ordem que, ao multiplicar ou ser multiplicada por A, resulta na matriz identidade.
Pretendemos identificar a existência, ou não, de uma matriz $A à potência de menos 1 fim do exponencial$ para que:
$A. A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a A à potência de menos 1 fim do exponencial. A igual a I com n subscrito$
Como A é uma matriz quadrada de ordem 2, $A à potência de menos 1 fim do exponencial$ também deve possuir ordem 2.
Vamos escrever a matriz inversa com seus valores como incógnitas.
$A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a abre colchetes tabela linha com a b linha com c d fim da tabela fecha colchetes$
Escrevendo a equação matricial e resolvendo o produto.
$A. A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a I com n subscrito abre colchetes tabela linha com 3 7 linha com 5 12 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com a b linha com c d fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 3 a mais 7 c fim da célula célula com 3 b mais 7 d fim da célula linha com célula com 5 a mais 12 c fim da célula célula com 5 b mais 12 d fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$
Igualando os termos equivalentes dos dois lados da igualdade.
3a + 7c = 1
5a + 12c = 0
3b + 7d = 0
5b + 12d = 1
Temos um sistema com quatro equações e quatro incógnitas. Neste caso, podemos separar o sistema em dois. Cada um com duas equações e duas incógnitas.
$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 a espaço mais espaço 7 c espaço igual a espaço 1 espaço fim da célula linha com célula com 5 a espaço mais espaço 12 c espaço igual a espaço 0 fim da célula fim da tabela fecha$
Resolvendo o sistema
Isolando a na primeira equação
$3 a espaço igual a espaço 1 espaço menos espaço 7 c espaço a espaço igual a espaço numerador espaço 1 espaço menos espaço 7 c sobre denominador 3 fim da fração$
Substituindo a na segunda equação.
$5. abre parênteses numerador 1 menos 7 c sobre denominador 3 fim da fração fecha parênteses mais 12 c igual a 0 numerador 5 menos 35 c sobre denominador 3 fim da fração mais 12 c igual a 0 numerador 5 menos 35 c sobre denominador 3 fim da fração mais numerador 3.12 c sobre denominador 3 fim da fração igual a 0 5 menos 35 c mais 36 c igual a 0 bold italic c negrito igual a negrito menos negrito 5$
Substituindo c
$a igual a numerador 1 menos 7. parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito sobre denominador 3 fim da fração a igual a numerador 1 mais 35 sobre denominador 3 fim da fração a igual a 36 sobre 3 bold italic a negrito igual a negrito 12$
e o sistema:
$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com 3 b espaço mais espaço 7 d espaço igual a espaço 0 espaço fim da célula linha com célula com 5 b espaço mais espaço 12 d espaço igual a espaço 1 fim da célula fim da tabela fecha$
Isolando b na primeira equação
$3 b igual a menos 7 d b igual a numerador menos 7 d sobre denominador 3 fim da fração$
Substituindo b na segunda equação
$5. abre parênteses menos numerador 7 d sobre denominador 3 fim da fração fecha parênteses mais 12 d igual a 1 numerador menos 35 d sobre denominador 3 fim da fração mais 12 d espaço igual a espaço 1 numerador menos 35 d sobre denominador 3 fim da fração mais numerador 36 d sobre denominador 3 fim da fração igual a 1 menos 35 d mais 36 d igual a 1.3 bold italic d negrito igual a negrito 3$
Substituindo d para determinar b.
$b igual a numerador menos 7.3 sobre denominador 3 fim da fração bold italic b negrito igual a negrito menos negrito 7$
Substituindo os valores determinados na matriz inversa de incógnitas
$A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a abre colchetes tabela linha com a b linha com c d fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 12 célula com menos 7 fim da célula linha com célula com menos 5 fim da célula 3 fim da tabela fecha colchetes$
Verificando se a matriz calculada é, de fato, a matriz inversa de A.
Para isso, devemos efetuar as multiplicações.
$A. A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a I com n subscrito espaço e espaço A à potência de menos 1 fim do exponencial. A igual a I com n subscrito$
$P a r a espaço A. A à potência de menos 1 fim do exponencial igual a I com n subscrito$
$abre colchetes tabela linha com 3 7 linha com 5 12 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 12 célula com menos 7 fim da célula linha com célula com menos 5 fim da célula 3 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 3.12 mais 7. parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito fim da célula célula com 3. parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito mais 7.3 fim da célula linha com célula com 5.12 mais 12. parêntese esquerdo menos 5 parêntese direito fim da célula célula com 5. parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito mais 12.3 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 36 menos 35 fim da célula célula com menos 21 mais 21 fim da célula linha com célula com 60 menos 60 fim da célula célula com menos 35 mais 36 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$
$P a r a espaço A à potência de menos 1 fim do exponencial. A igual a I com n subscrito abre colchetes tabela linha com 12 célula com menos 7 fim da célula linha com célula com menos 5 fim da célula 3 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 3 7 linha com 5 12 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 12.3 mais parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito.5 fim da célula célula com 12.7 mais parêntese esquerdo menos 7 parêntese direito.12 fim da célula linha com célula com menos 5.3 mais 3.5 fim da célula célula com menos 5.7 mais 3.12 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 36 menos 35 fim da célula célula com 84 menos 84 fim da célula linha com célula com menos 15 mais 15 fim da célula célula com menos 35 mais 36 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$
Portanto, as frações são invertíveis.

Questão 8

(EsPCEx 2020) Sejam as matrizes $A igual a abre colchetes tabela linha com 1 célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 2 1 célula com menos 3 fim da célula linha com 1 1 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes vírgula espaço B igual a abre colchetes tabela linha com x linha com y linha com z fim da tabela fecha colchetes espaço e espaço C igual a espaço abre colchetes tabela linha com 0 linha com célula com menos 12 fim da célula linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$ . Se AB=C, então x+y+z é igual a

a) -2.
b) -1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.

Ver Resposta
Resposta correta: e) 2.
Para determinar as incógnitas x, y e z, devemos realizar a equação matricial. Como resultado, teremos um sistema linear de três equações e três incógnitas. Ao resolver o sistema, determinamos x, y e z.
$A. B igual a C abre colchetes tabela linha com 1 célula com menos 1 fim da célula 1 linha com 2 1 célula com menos 3 fim da célula linha com 1 1 célula com menos 1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com x linha com y linha com z fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 0 linha com célula com menos 12 fim da célula linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 1. x mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. y mais 1. z fim da célula linha com célula com 2. x mais 1. y mais parêntese esquerdo menos 3 parêntese direito. z fim da célula linha com célula com 1. x mais 1. y mais parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito. z fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 0 linha com célula com menos 12 fim da célula linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com x menos y mais z fim da célula linha com célula com 2 x mais y menos 3 z fim da célula linha com célula com x mais y menos z fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com 0 linha com célula com menos 12 fim da célula linha com célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$
Pela igualdade de matrizes, temos:
$abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com x menos y mais z igual a 0 espaço negrito parêntese esquerdo bold italic e bold italic q bold italic u bold italic a bold italic ç bold italic ã bold italic o negrito espaço bold italic I negrito parêntese direito fim da célula linha com célula com 2 x mais y menos 3 z igual a menos 12 espaço negrito parêntese esquerdo bold italic e bold italic q bold italic u bold italic a bold italic ç bold italic ã bold italic o negrito espaço bold italic I bold italic I negrito parêntese direito fim da célula linha com célula com x mais y menos z igual a menos 4 espaço negrito parêntese esquerdo bold italic e bold italic q bold italic u bold italic a bold italic ç bold italic ã bold italic o negrito espaço bold italic I bold italic I bold italic I negrito parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha$
Somando as equações I e III
$stack attributes charalign center stackalign right end attributes row x menos y mais z igual a nada 0 end row row x mais y menos z igual a menos 4 end row horizontal line row 2 x igual a menos 4 end row end stack$
Assim x = -4/2 = -2
Substituindo x = -2 na equação I e isolando z.
$menos 2 menos y mais z igual a 0 z igual a y mais 2$
Substituindo os valores de x e z na equação II.
$2. parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito mais y menos 3. parêntese esquerdo y mais 2 parêntese direito igual a menos 12 menos 4 mais y menos 3 y menos 6 igual a menos 12 menos 2 y igual a menos 12 mais 6 mais 4 menos 2 y igual a menos 2 y igual a numerador menos 2 sobre denominador menos 2 fim da fração y igual a 1$
Substituindo os valores de x e y na equação I, temos:
$menos 2 menos 1 mais z igual a 0 menos 3 mais z igual a 0 z igual a 3$
Dessa forma, temos que:
$x mais y mais z igual a menos 2 mais 1 mais 3 igual a menos 2 mais 4 igual a 2$
Portanto, a soma das incógnitas é igual a 2.

Questão 9

(PM-ES) Sobre multiplicação de matrizes, Fabiana escreveu as seguintes sentenças em seu caderno:

$I espaço menos espaço A com 4 X 2 subscrito fim do subscrito espaço. espaço B com 2 X 3 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço C com 4 X 3 subscrito fim do subscrito espaço espaço I I espaço menos espaço A com 2 X 2 subscrito fim do subscrito espaço. espaço B com 2 X 3 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço C com 3 X 2 subscrito fim do subscrito espaço espaço I I I espaço menos espaço A com 2 X 4 subscrito fim do subscrito espaço. espaço B com 3 X 4 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço C com 2 X 4 subscrito fim do subscrito espaço espaço I V espaço menos espaço A com 1 X 2 subscrito fim do subscrito espaço. espaço B com 2 X 1 subscrito fim do subscrito espaço igual a espaço C com 1 x 1 subscrito fim do subscrito$

Está correto o que Fabiana afirma:

a) apenas em I.
b) apenas em II.
c) apenas em III.
d) apenas em I e III.
e) apenas em I e IV

Ver Resposta
Resposta correta: e) apenas em I e IV
Só é possível multiplicar matrizes quando o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.
Sendo assim, a sentença III já está descartada.
A matriz C, terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.
Dessa forma, as sentenças I e IV estão corretas.

Questão 10

Dada a matriz A, determine $A ao quadrado. A à potência de t$ .

$A igual a abre colchetes tabela linha com 3 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

Ver Resposta
Passo 1: determinar $A ao quadrado$ .
$A ao quadrado igual a A. A A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 3 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 3 2 linha com célula com menos 1 fim da célula célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com célula com 3.3 mais 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula célula com 3.2 mais 2. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula linha com célula com menos 1.3 mais parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito fim da célula célula com menos 1.2 mais parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com célula com 9 menos 2 fim da célula célula com 6 menos 8 fim da célula linha com célula com menos 3 mais 4 fim da célula célula com menos 2 mais 16 fim da célula fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 7 célula com menos 2 fim da célula linha com 1 14 fim da tabela fecha colchetes$
Passo 2: determinar a matriz transposta $A à potência de t$ .
Obtemos a matriz transposta de A, trocando ordenadamente as linhas pelas colunas.
$A à potência de t igual a abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 1 fim da célula linha com 2 célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$
Passo 3: resolver o produto matricial $A ao quadrado. A à potência de t$ .
$abre colchetes tabela linha com 7 célula com menos 2 fim da célula linha com 1 14 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 3 célula com menos 1 fim da célula linha com 2 célula com menos 4 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com 7.3 mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito.2 fim da célula célula com 7. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais parêntese esquerdo menos 2 parêntese direito. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula linha com célula com 1.3 mais 14.2 fim da célula célula com 1. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito mais 14. parêntese esquerdo menos 4 parêntese direito fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com célula com 21 menos 4 fim da célula célula com menos 7 mais 8 fim da célula linha com célula com 3 mais 28 fim da célula célula com menos 1 menos 56 fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre colchetes tabela linha com 17 1 linha com 31 célula com menos 57 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$
Portanto, o resultado do produto matricial é:
$A ao quadrado. A à potência de t igual a abre colchetes tabela linha com 17 1 linha com 31 célula com menos 57 fim da célula fim da tabela fecha colchetes$

Questão 11

(UNICAMP 2018) Sejam a e b números reais tais que a matriz $A igual a abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$ satisfaz a equação $A ao quadrado espaço igual a espaço a A espaço mais espaço b I$ , em que I é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Ver Resposta
Resposta correta: a) -2.
Passo 1: determinar $A ao quadrado$ .
$A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes. abre colchetes tabela linha com 1 2 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com célula com 1.1 mais 2.0 fim da célula célula com 1.2 mais 2.1 fim da célula linha com célula com 0.1 mais 1.0 fim da célula célula com 0.2 mais 1.1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes A ao quadrado igual a abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes$
Passo 2: determinar a . A.
$a. A igual a abre colchetes tabela linha com célula com a.1 fim da célula célula com a.2 fim da célula linha com célula com a.0 fim da célula célula com a.1 fim da célula fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a fim da célula linha com 0 a fim da tabela fecha colchetes$
Passo 3: determinar b.I, sendo I a matriz identidade.
$b. I igual a b. abre colchetes tabela linha com 1 0 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com b 0 linha com 0 b fim da tabela fecha colchetes$
Passo 4: somar aA + bI.
$abre colchetes tabela linha com a célula com 2 a fim da célula linha com 0 a fim da tabela fecha colchetes mais abre colchetes tabela linha com b 0 linha com 0 b fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com a mais b fim da célula célula com 2 a fim da célula linha com 0 célula com a mais b fim da célula fim da tabela fecha colchetes$
Passo 5: igualar os termos correspondentes em $A ao quadrado espaço igual a espaço a A espaço mais espaço b I$ .
$A ao quadrado espaço igual a espaço a A espaço mais espaço b I abre colchetes tabela linha com 1 4 linha com 0 1 fim da tabela fecha colchetes igual a abre colchetes tabela linha com célula com a mais b fim da célula célula com 2 a fim da célula linha com 0 célula com a mais b fim da célula fim da tabela fecha colchetes abre chaves atributos de tabela alinhamento de coluna left fim dos atributos linha com célula com a mais b igual a 1 fim da célula linha com célula com 2 a igual a 4 fim da célula fim da tabela fecha$
Passo 6: resolver o sistema isolando a na equação I.
$a igual a 1 menos b$
Substituindo na equação II.
$2. parêntese esquerdo 1 menos b parêntese direito igual a 4 2 menos 2 b igual a 4 menos 2 b igual a 4 menos 2 menos 2 b igual a 2 b igual a numerador 2 sobre denominador menos 2 fim da fração igual a menos 1$
Substituindo o valor de b
$a igual a 1 menos parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito a igual a 1 mais 1 igual a 2$
Passo 7: efetuar a multiplicação a.b.
$a. b igual a 2. parêntese esquerdo menos 1 parêntese direito igual a menos 2$

HORA DA MISERICÓRDIA

."Sangue Água / que brotastes do Coração de Jesus / como fonte de Misericórdia para nos, / eu confio em Vós! " (Diário nº 187)

2. "Ao expirardes, ó Jesus, / a Fonte da Vida brotou para acalmas / e abriu se o oceano da Misericórdia / para todo o mundo. Ó Fonte da Vida, / Mísericórdia insondável de Deus,/ abraçai o mundo inteiro / e derramai-Vos sobre nós !" (Diário nº 1319)

3."Ó Jesus crucificado, / suplico-Vos, / concedei-me a graça/ de sempre em toda a parte e em tudo / cumprir fielmente a santíssima Vontade de Vosso Pai. E quando essa, Vontade Divina / me parecer penosa e difícil de realizar, / então suplico-Vós, Jesus, / que das Vossas Chagas desça sobre mim / força e vigor, / e que a minha boca repita: /" Seja feita a Vossa Vontade? Senhor!" ( Diário nº 1265)

4. "Ó Salvador do mundo, / Amante da redenção humana,/ que em tão terríveis; suplícios de dor / não pensais em Vós mesmo, / lembrando-Vos apenas da salvação das almas, / ó Jesus, cheio de compaixão, / concedei-me a graça / de me esquecer de mim mesmo(a) / a fim de viver Inteiramente para as almas, / ajudando-Vos na Obra da Salvação / segundo a SantIssima Vontade, de Vosso pai..." ( Diário nº 1265 )

5. "Ó Jesus, / Verdade eterna, / nossa Vida, / invoco e suplico a Vossa misericórdia / para os pobres pecadores:'Ó dulcíssimo Coração do meu senhor, / cheio de Compaixão e insondável Misericórdia, / imploro-Vos pelos pobres pecadores. Ó Coração Sacratíssima, / fonte de Misericórdia, / do qual bro taro raios de graças incompreensíveis / para todo o gênero humano,/ suplico-vos luz/ para os pobres pecadores. Ó Jesus, / lembrai-Vos da vossa

amarga paixão / e não permitais que se percam almas / remidas com o Vosso preciosíssimo e sacratíssimo Sangue. Ó Jesus, / quando medito sobre o grande mérito do Vosso Sangue, / rejubilo com a sua imensidade, / pois uma só gota teria sido suficiente / para todos os pecadores... Oh, / como se consome de alegria o meu coração, / quando contemplo essa Vossa inconcebível Bondade, / Ó meu Jesus! Desejo trazer a Vossos pés / todos os pecadores, / para que louvem a Vossa Misericórdia / pelos séculos sem fim!" ( Diário nº 72 )

Nosso Senhor Jesus enumera três condições para que a oração feita nessa hora, seja atendida:

1) A prece deve ser dirigida a Jesus-Salvador.

2) A prece deve ser feita às tres horas da tarde.

3) A prece deve recorrer ao valor e aos méritos infinIto da Paixão do Senhor Jesus.

" Nessa hora - prometeu Jesus à santa irmã Faustina - podes requerer tudo o que desejes por ti e pelos outros. Nessa hora realizou-se a Graça para todo o mundo: a misericórdia venceu a Justiça" . (D 1.572)

Minha filha, procura rezar nessa hora a Via-Sacra, na medida em que te permitirem os teus deveres. E se não puderes fazer a Via Sacra, entra ao menos por um momento na capela e adora o Meu coração que está cheio de misericórdia no Santíssimo Sacramento.

O God, when you went out with the people, walking before them, dwelling among them, the earth shook and the heavens themselves poured water, alleluia (Ps 67:8s. 20).

O God, when you went out with the people, walking before them, dwelling among them, the earth shook and the heavens themselves poured water, alleluia (Ps 67:8s. 20).

At the center of the liturgy is the risen Jesus, whom God exalted, making him “the supreme leader and savior”. Let us renew our adherence to him through faith, for “whoever believes in the Son has eternal life”.

First Reading: Acts 5:27-33

A reading from the Acts of the Apostles – In those days, the guards 27led the apostles and made them appear before the Sanhedrin. The high priest began to question them, 28saying: “We expressly ordered you not to teach in the name of Jesus, and yet you have filled Jerusalem with your teaching. And yet you want to hold us responsible for the death of this man!” 29Then Peter and the other apostles answered, “We must obey God rather than men. 30The God of our fathers raised Jesus from the dead, whom you killed by crucifying him. 31By his power God exalted him to become a supreme leader and savior, in order to repent and forgive the sins of the people of Israel. 32We are witnesses of this, and so is the Holy Spirit, whom God has given to those who obey him.” 33When they heard this, they were furious and wanted to kill them. – The word of the Lord.

Responsorial Psalm: 33(34)

This wretched man cried out to God, and he was heard.

1. I will bless the Lord at all times; / his praise will always be in my mouth. / Taste and see that the Lord is good! / Blessed is the man who takes refuge in him! – R.

2. But he sets his face against the wicked / to blot out their memory from the earth. / The righteous cry out, and the good Lord hears / and delivers them from all their troubles. – R.

3. He is close to the brokenhearted / and comforts those who are crushed in spirit. / Many evils befall the righteous, / but the Lord delivers them from them all. – R.

Gospel: John 3:31-36

Alleluia, alleluia, alleluia.

Thomas, you have believed because you have seen me. / Blessed are those who have not seen and yet believe (Jn 20:29). – R.

Proclamation of the Gospel of Jesus Christ according to John – 31“He who comes from above is above all. What is of the earth belongs to the earth and speaks of the things of the earth. He who comes from heaven is above all. 32He bears witness to what he has seen and heard, but no one accepts his testimony. 33Whoever accepts his testimony testifies that God is true. 34For the one whom God has sent speaks the words of God, for God gives him the Spirit without measure. 35The Father loves the Son and has given everything into his hand. 36Whoever believes in the Son has eternal life. But whoever rejects the Son will not see life, for the wrath of God remains on him.” – Word of salvation.

Reflection:

The apostles, witnesses of the Risen One, returned fearlessly to the temple, announcing: “We must obey God rather than men.” / Jesus presents himself as the one whom God sent. He reveals to us the Father, who gives us the Spirit without measure. It is up to each person to decide whether or not to believe in faith.

Ó Deus, quando saístes com o povo, caminhando à sua frente, habitando no meio deles, a terra estremeceu e orvalhou o próprio céu, aleluia (Sl 67,8s.20).

No centro da liturgia está Jesus ressuscitado, que Deus exaltou, tornando-o “Guia supremo e Salvador”. Renovemos, pela fé, nossa adesão a ele, pois “aquele que acredita no Filho possui a vida eterna”.

Primeira Leitura: Atos 5,27-33

Leitura dos Atos dos Apóstolos – Naqueles dias, os guardas 27levaram os apóstolos e os apresentaram ao sinédrio. O sumo sacerdote começou a interrogá-los, 28dizendo: “Nós tínhamos proibido expressamente que vós ensinásseis em nome de Jesus. Apesar disso, enchestes a cidade de Jerusalém com a vossa doutrina. E ainda nos quereis tornar responsáveis pela morte desse homem!” 29Então Pedro e os outros apóstolos responderam: “É preciso obedecer a Deus antes que aos homens. 30O Deus de nossos pais ressuscitou Jesus, a quem vós matastes, pregando-o numa cruz. 31Deus, por seu poder, o exaltou, tornando-o Guia supremo e Salvador, para dar ao povo de Israel a conversão e o perdão dos seus pecados. 32E disso somos testemunhas, nós e o Espírito Santo, que Deus concedeu àqueles que lhe obedecem”. 33Quando ouviram isso, ficaram furiosos e queriam matá-los. – Palavra do Senhor.

Salmo Responsorial: 33(34)

Este infeliz gritou a Deus e foi ouvido.

1. Bendirei o Senhor Deus em todo o tempo, / seu louvor estará sempre em minha boca. / Provai e vede quão suave é o Senhor! / Feliz o homem que tem nele o seu refúgio! – R.

2. Mas ele volta a sua face contra os maus / para da terra apagar sua lembrança. / Clamam os justos, e o Senhor bondoso escuta / e de todas as angústias os liberta. – R.

3. Do coração atribulado ele está perto / e conforta os de espírito abatido. / Muitos males se abatem sobre os justos, / mas o Senhor de todos eles os liberta. – R.

Evangelho: João 3,31-36

Aleluia, aleluia, aleluia.

Acreditaste, Tomé, porque me viste. / Felizes os que creem sem ter visto (Jo 20,29). – R.

Proclamação do Evangelho de Jesus Cristo segundo João – 31“Aquele que vem do alto está acima de todos. O que é da terra pertence à terra e fala das coisas da terra. Aquele que vem do céu está acima de todos. 32Dá testemunho daquilo que viu e ouviu, mas ninguém aceita o seu testemunho. 33Quem aceita o seu testemunho atesta que Deus é verdadeiro. 34De fato, aquele que Deus enviou fala as palavras de Deus, porque Deus lhe dá o Espírito sem medida. 35O Pai ama o Filho e entregou tudo em sua mão. 36Aquele que acredita no Filho possui a vida eterna. Aquele, porém, que rejeita o Filho não verá a vida, pois a ira de Deus permanece sobre ele”. – Palavra da salvação.

Reflexão:

Os apóstolos, testemunhas do Ressuscitado, voltaram destemidos ao templo, anunciando: “É preciso obedecer a Deus antes que aos homens”. / Jesus se apresenta como aquele que Deus enviou. Ele nos revela o Pai, o qual nos dá o Espírito sem medida. Cabe a cada pessoa decidir-se, ou não, pela fé.

(Liturgia Diária)

(Daily Liturgy)